第九章_重积分高数课件.ppt

重积分计算的基本方法 1. 选择合适的坐标系 使积分域多为坐标面(线)围成; 被积函数用此坐标表示简洁或变量分离. 2. 选择易计算的积分序 积分域分块要少, 累次积分易算为妙 . 根据图形 根据方程 3. 掌握确定积分限的方法 —— 累次积分法 小结： 三、重积分的应用 1. 几何方面 面积 ( 平面域或曲面域 ) , 体积 , 形心 质量, 转动惯量, 质心, 引力 证明某些结论等 2. 物理方面 3. 其它方面 注：一定要用对称性结论 例. 一个炼钢炉为旋转体形, 剖面壁线 的方程为 内储有高为 h 的均质钢液, 解: 利用对称性可知质心在 z 轴上， 采用柱坐标, 则炉壁方程为 因此 故 自重, 求它的质心. 若炉 不计炉体的 其坐标为 例. 解: 在球坐标系下 利用洛必达法则与导数定义,得 其中 定积分 可把方程代入被积函数化简得为 二重、三重积分 曲线积分 曲面积分 注： 可利用对称性的为 第一曲线积分 第一曲面积分 答疑地点：6楼107 答疑时间：本周六 12：30-15：30 下周五 9：30-11：30 2011-2012学年高等数学第二学期期中考试说明 题型： 一、填空题（5个小题）；二、选择题（ 5个小题）；三、计算题（ 5个小题）；四、计算题（ 5个小题）；五、计算与解答题（ 2个小题）；六、证明题（ 1个小题）。 考试时间： 2012年5月4日（第10周周五）下午4：00－6：00 考试地点： 化学工程与工艺6班、制药工程1—2班： 24-303 生物工程1—2班：24-305 每章所占分值: 第七、八章 空间解析几何与多元函数微分 (占23分) 第九章 重积分 (占35分) 第十章 线面积分 (占42分) 一元函数积分学 多元函数积分学 重积分 曲线积分 曲面积分 积分学 二重积分 三重积分 第一类曲线积分 第二类曲线积分 第一类曲面积分 第二类曲面积分 （细棒质量） （平面薄板质量） （曲面薄板质量） （空间物体质量） （物质曲线质量） （变力作功） （通量） 第九章 重积分 1. 二重积分的性质 被积函数相同, 且非负, 解: 由它们的积分域范围可知 例. 比较下列积分值的大小关系: 例. 设D 是第二象限的一个有界闭域 , 且 0 y 1, 则 的大小顺序为 ( ) 提示: 因 0 y 1, 故 故在D上有 例. 证明 证:左端 = 右端 2. 二重积分的计算 (1) 利用二重积分的基本性质（几何意义、对积分区域可加性、对称性质、坐标轮换性质） 对称性质: 当区域关于 y 轴对称, 函数关于x 有奇偶性时, 仍有类似结果. (2) 利用直角坐标计算二重积分 若D为 X – 型区域 则 若D为Y –型区域 则 (3) 利用极坐标计算二重积分 注：若积分区域为圆域、扇形域、环形域、或由极坐标曲线围成的区域，可考虑选择极坐标; (4) 分段函数的二重积分计算 非简单域、被积函数为分段函数、含绝对值、最值、取整函数时区域要分块。 将积分区域分为几个子区域的目的是：使被积函数在每个子区域上有唯一的表达式，然后利用积分对区域的可加性。 3. 三重积分的计算 (1) 投影法 (“先单后重”) 关键：正确的判断上、下曲面; 找对投影区域. 方法:①根据图形:（利用平行于z轴的直线穿曲面，穿出和穿入点就对应上、下曲面，注：中间所夹部分应为柱面的母线） ②根据方程:根据已给方程确定上、下曲面,然后根据曲线在相应坐标面的投影曲线方程确定投影区域 其中? 为三个坐标 例. 计算三重积分 所围成的闭区域 . 解: 面及平面 例. 计算积分 其中?由曲面 提示: 积分域为 原式 及平面 所围 . (2) 截面法 (“先重后单”) 适用范围： 积分区域介于两个平行于坐标面的平面之间; 在平行于坐标面的截面上二重积分易算 典型题目： 被积函数只为某一变量的函数;且截面面积易求 例(截面法): 计算积分 其中?是两个球 ( R 0 )的公共部分. 提示: 被积函数缺 x , y 原式 = (3) 利用柱坐标计算三重积分 就称为点M 的柱坐标. ①柱面坐标本质：投影法中的二重积分利用了极坐标计算 ②柱面坐标适用范围： 例. 计算三重积分 解: 在柱面坐标系下 所围成 . 与平面 其中?由抛物面 原式 = 其中?为由 例. 计算三重积分 所围 解: 在柱面坐标系下 及平面 柱面 成半圆柱体. (4). 利用球坐标计算三重积分 就称为点M 的球坐标. 确定r, ?, ?的变化范围的方法: (a)