9 方差分析与回归分析.doc

PAGE ·PAGE 276· 9 方差分析与回归分析 9.1 基本要求 方差分析与回归分析是数理统计中极具应用价值的统计分析方法，前者定性研究当试验条件变化时，对试验结果影响的显著性；后者则定量地建立一个随机变量与一个或多个非随机变量的相关关系。 1．了解单因素试验的方差分析，了解离差平方和的分解及其意义，掌握检验用统计量及假设检验的一般步骤。 2．了解双因素无重复试验的方差分析及双因素等重复试验的方差分析，了解检验用统计量及假设检验的一般步骤。 3．理解回归分析的基本概念，掌握一元线性回归方程，掌握线性相关显著性检验，会利用线性回归方程进行预测。了解一些可线性化的非线性回归问题的解决方法。 *4．了解简单的多元线性回归及显著性检验。 9.2 内容提要 9.2.1方差分析 方差分析是考察多总体均值差异的显著性，是二总体均值检验的推广。 1．单因素试验的方差分析 (1)单因素方差分析原理 单因素方差分析是指在影响指标的众多因素中仅就某个因素A加以考察，并设A有r个水平：A1、A2、…、Ar，每个水平Ai对应的总体(i=1，2，…，r)均服从同方差的正态分布，即~。记()是来自第i个总体()的容量为ni的样本，称为理论总平均(其中)。 如果因素A对试验没有显著影响，则试验的全部结果Xij应来自同一正态总体N()。因此，从假设检验的角度看，单因素方差分析的任务就是检验r个总体N()(i=1，2，…，r)的均值是否相等，即检验假设： ：，：不全相等。 显然，当r=2时就是二总体的均值检验。 (2)单因素方差分析的检验统计量 离差平方和的分解： 其中 ，称为误差平方和。 称为因素A的效应平方和。且～，是的无偏估计量。 当H0为真时，有检验统计量 ～ 因此，在检验水平为时，若由样本观察值算得统计量之值有≥成立，则应当拒绝H0，否则就接受H0。 (3)单因素方差分析的计算 方差分析的计算是复杂而繁琐的，一般为方便起见，通常把计算和检验的主要过程列成表9-1的形式，称为单因素试验方差分析表。 9-1 单因素试验方差分析表 方差来源 平方和 自由度 均方误差 方差比 F临界值 因素A SA r－1 误差 Se n－r 总和 ST n－1 在进行方差计算时，为简化计算，常可以按以下简便公式来计算ST，SA和Se。记，，则有 2．双因素无重复试验的方差分析 当影响某指标的因素不只一个而是多个时，要分析多个因素的作用，就要进行多因素的方差分析。 进行双因素方差分析的目的，是要检验两个因素A、B对试验结果有无显著影响。因素A取r个水平A1，A2，…，Ar，因素B取s个水平B1，B2，…，Bs，在(Ai，Bj)水平组合下的试验结果独立地服从同方差的正态分布N()，。 若每一因素组合仅做一次试验，则称双因素无重复试验，记试验结果为Xij，则～，。且各独立。 为判断因素A对指标影响是否显著，就要检验下列假设 ： ：不全相等， 为判断因素B的影响是否显著，就要检验下列假设 ： ：不全相等， 类似单因素方差分析的检验方法一样，记 ，离差平方总和。 ，称为误差平方和。 ，称为因素A的效应平方和。 ，称为因素B的效应平方和。 则 在、均成立时，有检验统计量： ～和 ～。 类似于单因素的方差分析，对给定的检验水平。由样本值算得之值，若≥，则应拒绝，接受；否则就应当接受。 由样本值算得之值，若≥，则应拒绝；否则就应当接受。 类似于单因素的方差分析，也可将计算的主要结果和检验过程列成表9-2形式，称为双因素不重复试验方差分析表。 表9-2 双因素不重复试验方差分析表 方差来源 平方和 自由度 均方误差 F比 因素A SA r－1 因素B SB s－1 误差 Se (r－1)(s－1) 总和 ST rs－1 实际计算时，可以利用下列记号和公式简化计算： ，， ， 。 ， ， ， 。 3．双因素等重复试验的方差分析 若试验指标受因素A、B的作用，因素A有r个水平A1，A2，…，Ar，因素B有s个水平B1，B2，…，Bs。若因素A，B的每对组合(Ai，Bj)，i=1，2，…，r，j=1，2，…，s都作k(k≥2)次试验，则称该试验为双因素等重复试验，其试验结果记为(i=1，2，…，r，j=1，2，…s，l=1，2，…，k)。假设相互独立且服从同方差的正态分布，即：～N()，i=1，2，…r，j=1，2，…s，l=1，2，…k。 类似前面的结果，有双因素等重复试验方差分析表(表9-3)。 表9-3 双因素等重复试验方差分析表 方差来源 平方和 自由度 均方误差 F比 因素A SA r－1 因素B SB s－1 交互作用 SA×B (r－1)(s－1) 误 差 Se rs(k－1) 总 和 ST rsk－1 其中 ，离差平方总和。