第二章(初等模型).ppt

第二章 初等方法建模 2.1 类比法建模 建立模型????把四足动物的躯干视为圆柱体，长度为l，直径为d，底面积为s．如图．现将此圆柱体的躯干类比作一根支撑在四肢上的弹性梁，以便利用弹性力学的研究结果． 因b/l是动物躯干的相对下垂度， b/l太大，四肢将无法支撑；太小，无疑是一种浪费．生物学上认为，经过长期的进化，对于每一种动物而言，已经达到一个最合适的数值，即可设其为常数． 评注 (1)类比法是建模中常用的一种方法．在这个模型中将动物躯干类比作弹性梁实属一个大胆的假设，其可信程度自然应该用实际数据仔细检验. 但是这种充分发挥想象力，把动物躯干长度与体重的关系这样一个看来无从下手的问题，转化为已经有确切研究成果的弹性梁在自重下挠曲问题的作法，是值得借鉴的． 2.2 函数与比例关系建模 模型假设 1.商品的生产和包装的工作效率固定不变； 2.商品包装成本只与装包、封包的劳力投入、包装材料成本有关； 3.商品包装的形状、大小相似，不同大小的包装材料一致. 模型构造 设 a = 生产一件（包、罐）产品的成本； b = 包装一件产品的成本； b1 = 劳力成本，b2 = 材料成本； w = 每件产品包装的货物量. 模型构造 模型应用分析 2.3 状态转移问题 三商三从 一起过河 河中一船 一船容二 商人掌权 从多杀人 这里介绍的模型是一种规格化的方法，使我 们可以用计算机求解，从而具有推广意义．譬 如当商人和随从数增加或者小船的容量增大时 靠逻辑思维就困难了，而用这种模型则仍可方 便的求解．另外，适当地设置状态和决策，并 确定状态转移律，是有效地解决很广泛的一类 问题的建模方法． 请你思考????(1) 若船的情况不变，则2名商人2个随从如何安全渡河？ ?? ??(2) m名商人m个随从(m≥4)能否安全渡河？????(3) 一般地，m个商人n个随从,mn能否安全渡河? 若能,怎样渡河? 解答：??????(1) (2,2)→(1,1) or (2,0)→(2,1)→(0,1) →(1,1)→(0,0)(如下图) (2) m名商人m个随从(m≥4)无法安全渡河,如m=4时的图(如下图)，d7就无法作不重复的转移。其他情况也一样。 ?????(3)?当 x=0,m时， y=0,1,2,…,n均可，而当 x=1,2,…,m-1时,????此岸要求 x≥y ,对岸要求m-x ≥n-y ,综合即0≤ x-y ≤m-n 人狗鸡米过河问题 ????阿拉伯夫妻过河问题????有三对阿拉伯夫妻要过河，船最多可载两人。????约束条件是根据阿拉伯法律，任一女子不得在其丈夫不在场的情况下与另外男子在一起，问此时这三对夫妻能否过河? 四对夫妻呢？ 讨论题 雨滴匀速下降,空气阻力与雨滴表面积和速度平方的乘积成正比.建模描述雨速与雨滴质量的关系. 参考解答. 假设雨滴从具有足够高度的静止的云上落下, 雨滴在下落过程中受到两个力的作用: 竖直向下的重力Fg和竖直向上的空气阻力Fd. 由流体力学的原理知, 可设空气阻力Fd与雨滴的表面积S和下落速度v的平方的乘积成正比; 而重力Fg与雨滴的质量m成正比(假设在涉及的高度内重力加速度为常数), 因此也与其体积V成正比. 雨滴下落过程中, 随着下落速度v的增加, 阻力Fd也在增加, 但重力Fg保持不变. 因此下落一段时间后, 阻力Fd与重力Fg达到平衡, 雨滴受到的合力为零, 保持匀速下落. 这时 再假设所有的雨滴都是几何相似的, 有 问题：人、狗、鸡、米均要过河，船需要人划，另 外至多还能载一物，而当人不在时，狗要吃鸡，鸡要吃米．问人、狗、鸡、米怎样过河，试设计一个安全渡河方案，并使渡河次数尽可能地少． 请您探索 状态转移问题 1）允许状态集合S 人、狗、鸡、米依次用四维向量表示它们的状态，在此岸 用1表示，在彼岸用0表示． 如（0，1，0,1)表示人、鸡 在彼岸，狗、米在此岸． 人在此岸 (1,1,1,1),(1,1,1,0),(1,1,0,1),(1,0,1,1),(1,0,1,0) 人在彼岸 (0,0,0,0),(0,0,0,1),(0,0,1,0),(0,1,0,0),(0,1,0,1) 2)允许决策集（划船方式）D 用四维向量表示决策，如（1，1，0，0）表示人带狗摆渡。 D={(1,0,0,0),(1,1,0,0),(1,0,1,0),(1,0,0,1)} 问题转化为： 由初始状态 (1,1,1,1)出发，经奇数次上述运算转化为 状态(0,0,0,0)的过程。 规定运算： 分量 1+1=0, 1+0=0+1=1, 0+0=0 如 (1,1,1,1)+(1,0,1,0)=(0,1,