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第五讲 系统仿真
5.4 随机型系统的模拟方法 蒙特卡洛法: 蒙特卡洛(Monte Carlo) 法,或称计算机随机模拟方法,是一种基于“随机数”的计算方法。这一方法源于美国在第二次世界大战研制原子弹的“曼哈顿计划”。该计划的主持人之一、数学家冯·诺伊曼用驰名世界的赌城,摩纳哥的Monte Carlo,来命名这种方法,为它蒙上了一层神秘色彩。 蒙特卡洛(Monte Carlo) 法是以概率问题为对象的一种数值模拟方法。蒙特卡洛本来是摩纳哥一座有名的赌博城镇和旅游胜地,各地的游客常在那里赌钱。赌场老板看到每天轮盘赌的轮盘和纸牌的销售情况参差不齐,经过长时间对这种现象的观察,发现销售量是按一定规律变化的,因而他采用一种数学方法来描述这种赌场的关系,后来被命名为蒙特卡洛(Monte Carlo) 法。 这种方法也是利用标准调查法(随机采样)按统计方式把应求的值作为未知的特性量进行推定的计算法。即使对于确定的问题,也能用适当的方法转换为概率现象,从而利用蒙特卡洛(Monte Carlo) 法予以解决。 这种方法在第二次世界大战期间被普林斯顿大学的冯·诺伊曼(neumann)教授等利用,创造一种特殊的概率过程,求解与研制原子弹有关的偏微分方程式和积分方程式等,取得了显著效果。 蒙特卡洛法的设想,可用计算圆周率这样古典的例子加以说明。如图所示,先画出半径为1的四分之一圆弧,再给出边长为1的正方形将该圆弧包围起来,在正方形内任意打出N个点,其中会有n个点置于扇形部分。如果使点数N变得足够大。则可以认为N与n之比近似地等于正方形和扇形的面积之此。因此,用下式表示。 问题一:某人每轮向靶子射10箭,已知其击中靶心的概率为25%,问一轮中射中7箭的概率为多少? 问题的求解方法: 1. 产生均匀分布随机数 0.00~0.99(100个),某个数字出现的概率相等。若产生1000个这样的数,则 (1)数值为0.00~0.24大约会有250个,比例大约为0.25 (2)数值为0.25~0.99大约会有750个,比例大约为0.75 2. 以每产生一个随机数代表射1箭,若产生的随机数小于0.25,则代表击中靶心,如果产生的随机数大于或等于0.25,则表示没有击中靶心。 若实验的次数很多(远大于1000),则击中靶心的频率接近于25%。若实验的次数无限多,则击中靶心的概率等于25%。 3. 确定一轮中击中7箭的概率 (1)每轮由计算机产生10个均匀分布的随机数Ni(i=1,2,3, … 10),代表射10箭 (2)其中若Ni小于0.25为击中,记下该轮中击中的次数 (3)重复(1)―(2),进行K轮实验 (4)找出K轮中所有每轮击中7次的总轮数M,则K轮中每轮击中7箭的频率为M / K,若K趋向无穷大时,M / K为每轮击中7箭的概率。 问题二:有一银行营业点打算添置一台自动存取款机(12小时服务),顾客按一定的间隔时间到来,排队接受服务,先来者先用,后来者后用,顾客不愿在队列中等待太久,否则会离去。管理人员想了解等待时间超过3分钟的顾客的比例为多少,若该比例太大,则考虑再增设一台机器。 问题2求解方法: 3. 产生均匀分布的二组随机数 产生0-1(0.00-0.99)间隔两组均匀分布的随机数。 一组用于模拟顾客到达间隔时间,另一组模拟顾客用机时间。 由第一组产生的一个随机数代表当前到达存取款机的一位顾客,若此随机数的值为0.70,通过表2.2-1,可以确定所模拟的该顾客到达的时间与前一位顾客到达时的间隔时间为5分钟。 由第二组产生的一个随机数代表正在使用存取款机的一位顾客,若此随机数的值为0.90,通过表2.2-2,可以确定所模拟的该顾客使用存取款机的时间为4分钟。 4.手工模拟步骤与结果(假设模拟开始时间为0) 与确定性的问题不同,每一步由仿真模型计算结果所获得的模型的状态并不反映或对应实际系统在那一次或那一时刻的真实状态。 也就是说模型的每一个瞬时状态并不一定反映真实系统的实际状态,但是模型在经过大量实验,即模拟较长一段时间后,所获得的的统计特性,却可以反映实际系统的整体特性。 随机数的产生方法 平方取中法 任取一个2N位的数X0 对该数自乘,得到一个4N位的数 将该乘积去头截尾,取其中间的2N位,得到第一个伪随机数X1 对X1进行自乘,对其乘积去头截尾,取其中间的2N位,得到第二个伪随机数X2 重复上述步骤,便得到一个伪随机数序列 例: X0=3263 (X0)2 X1=6471 (X1)2
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