第六章 重心及截面的几何性质.ppt

第六章 重心及截面的几何性质第一节 物体的重心和形心第二节 惯性矩和惯性积第三节 主惯性轴和主惯性矩第四节 组合截面的惯性矩计算 重 心 一、重心 一个物体的各部分都要受到重力的作用。从效果上看，我们可以认为各部分受到的重力作用集中于一点，这一点叫做物体的重心 取直角坐标系如图 物体上各点以及重心的坐标如图示 目的：求出重心位置坐标 对y轴应用合力矩定理 即 因此 同理，对x轴取矩可得 将物体连同坐标轴旋转900，使得xoz平面成为水平面，对x轴应用合力矩定理，可得中心位置在z轴上的坐标 关于物体重心位置的计算有以下规律： 质量均匀分布的物体（均匀物体），重心的位置只跟物体的形状有关。 有规则形状的物体，它的重心就在几何重心上。 例如：均匀细直棒的中心在棒的中点，均匀物体的重心在球心，均匀圆柱的重心在轴线的中点。 不规则物体的重心,可以用悬挂法来确定。物体的重心,不一定在物体上。 质量分布不均匀的物体，重心的位置除跟物体的形状有关外，还跟物体内质量的分布有关。载重汽车的重心随着装货多少和装载位置而变化。 二、静矩 静矩 微面积dA的坐标分别为y和z，则y·dA和z·dA分别称为微面积dA对于z轴和y轴的静矩。 三、形心 平面的形心就是图形的几何中心。 平面形心坐标与静矩之间关系 当Sz=0或Sy=0时，必有yc=0或zc=0，可知截面对某轴的静矩为零时，该轴必通过截面形心；反之，若某轴通过形心，则截面对该轴的静矩为零。 判断截面形心的位置 当截面具有两个对称轴时，二者的交点就是该截面的形心 据此，可以很方便的确定圆形、圆环形、正方形的形心； 只有一个对称轴的截面，其形心一定在其对称轴上，具体在对称轴上的哪一点，则需计算才能确定。 均质物体的形心和重心重合 组合截面的静矩 由静矩的定义知：整个截面对某轴的静矩应等于它的各组成部分对同一轴的静矩的代数和 组合截面的形心坐标公式 注：被“减去”部分图形的面积应代入负值 例题 求图示T形截面形心位置。 解 取参考坐标轴x、y,由图形对称,xc=0。 分解图形为１、２两个矩形，则 若分解为1，2，3三个矩形 练习 试计算图示截面形心C的位置 第二节 惯性矩、惯性积 一、惯性矩和惯性积 例题 计算圆形截面对其形心轴z的惯性矩。 解 取微面积dA=2zdy 图形对称 圆形截面对其形心轴的极惯性矩 与结论相符！ 小结 惯性矩 矩形截面：对其形心轴 圆形截面 二、平行移轴公式 惯性矩和惯性积的平移轴公式 以上就是惯性矩及惯性积的平移轴公式。 截面对任意截面截面的惯性矩等于截面对与该轴平行的形心轴的惯性矩，加上截面的面积与两轴距离平方的乘积。 截面对形心轴的惯性矩为最小！ 例题 计算如图所示矩形截面对z1，y1的惯性矩 解 根据前面例题可知矩形截面对于其形心轴的惯性矩为 利用平移轴公式 例题 计算如图所示圆形截面(直径D)对z1，y1的惯性矩 解 根据前面例题可知矩形截面对于其形心轴的惯性矩为 利用平移轴公式 第三节 主惯性轴和主惯性矩 主惯性轴 若截面对于任意的y轴和z轴的惯性积Iyz=0,则称这一对相互垂直的坐标轴为截面的主惯性轴，简称主轴。 截面对于主轴的惯性矩称为主惯性矩。 通过图形形心的主惯性轴称为形心主惯性轴，简称形心主轴 图形对形心主轴的惯性矩称为形心主惯性矩。简称形心主矩； 形心主轴的确定 由于图形对含有对称轴的一对正交轴的惯性积为零，而形心在对称轴上，图形的对称轴就是形心主轴。 只讨论有对称轴的情形： （1）图形只有一个对称轴时，则对称轴是一个形心主轴，通过形心与对称轴垂直的轴是另一个形心主轴； （2）图形两个对称轴时，则两个对称轴是形心主轴，例如矩形； （3）图形有三个或三个以上对称轴时，则任何形心轴都是形心主轴。且各形心主矩相等，圆形截面。 平面图形要么只有一对形心主轴，要么任何形心轴都是形心主轴。只有这两种情形。 本章小结 重心计算 静矩及形心的计算 组合图形静矩和形心的计算 惯性矩、惯性积和极惯性矩 若y 轴或（和）z 轴为对称轴，则Iyz= 0。 矩形、圆形的惯性矩要记住。 平行移轴公式 形心主轴位置的确定 步骤：1、确定组合截面的形心位置，并画出形心轴；2、将组合截面分成几个简单图形；3、画出每个简单图形的形心轴，这些形心轴都与组合截面的形心轴平行；4、计算每个简单图形对自身形心轴的惯性矩，再利用平行移轴公式，计算每个简单图形对组合截面形心轴的惯性矩，所以这些惯性矩之和即为组合截面对其形心轴的惯性矩。 第四节 组合截面的惯性矩计算 G 第一节 物体的重心和形心 ΔG1 ΔG2 ΔG3 ΔGi ΔGn G x z y C x1 xn x2 y1 y2 yn xc yc Δ