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第五章 大数定律及中心极限定理 第一节 大数定律 第二节 中心极限定理 习题课 第一节大数定律 第二节中心极限定理 习题课 三、小结 中 心 极 限 定 理 注 * 大量随机试验中 大数定律的客观背景 大量抛掷硬币正面出现频率 生产过程中的废品率 字母使用频率 …… 例如： 弱大数定理（辛钦大数定理）设X1, X2, …是相互独立，服从同一分布的随机变量序列，且具有数学期望E(Xk)=μ(k=1,2,…)。则对于任意正数ε有 前n个变量的算术平均 证明：我们只在随机变量的方差D(Xk)=σ2 (k=1,2,…)存在这一条件下证明这个定理。 由切比雪夫不等式 上式中令 得 定理的理解: 定义 性质 注意 : 弱大数定理（辛钦大数定理） 设 nA 是n次独立重复试验中事件A发生的次数，p是事件A在每次试验中发生的概率，则对于任意正数ε 0 ，有 伯努利大数定理 ： （辛钦大数定理的推论） 或 证毕 或 证明 由辛钦大数定理即得 当重复试验次数n充分大时，事件“频率nA/n与概率p的偏差小于ε”概率趋于1。由实际推断原理，实际上这个事件几乎是必定要发生的。这就是所谓的“频率稳定性”。 在实际应用中，当试验次数很大时，就可以用事件的频率来代替事件的概率。 定理的理解: 中心极限定理的客观背景 在客观实际中，许多随机变量是由大量的相互独立的随机因素的综合影响所形成的。而其中每一个别因素所起的作用都是微小的。 例如：炮弹射击的落点与目标的偏差，就受着许多随机因素（如瞄准，空气阻力，炮弹或炮身结构等）综合影响的。每个随机因素的对弹着点（随机变量和）所起的作用都是很小的。 这样的随机变量往往近似地服从正态分布！ 下面演示不难看到中心极限定理的客观背景 例:20个0-1分布的和的分布 X1 ~f(x) X1 +X2~g(x) X1 +X2+X3~ h(x) 几个(0,1)上均匀分布的和的分布 0 1 2 3 x f g h 由于无穷个随机变量之和可能趋于∞，故我们不研究n个随机变量之和本身而考虑它的标准化的随机变量. 在概率论中，习惯于把和的分布收敛于正态分布这一类定理都叫做中心极限定理. 一、中心极限定理 定理1（独立同分布的中心极限定理） 注 3、在一般情况下，我们很难求出 的分布函数。但当n很大时，可用正态分布来近似求解。 定理2（李雅普诺夫定理） 定理的理解 : 定理3（棣莫弗－拉普拉斯定理） 设随机变量 (n=1,2,‥‥)服从参数n,p(0p1) 的二项分布，则对任意x，有 证 定理表明：二项分布的极限分布是正态分布， 即 证毕。 二、例题 例1 于是 解 例2 (供电问题)某车间有200台车床,在生产期间由于需要检修、调换刀具、变换位置及调换工件等常需停车. 设开工率为0.6, 并设每台车床的工作是独立的，且在开工时需电力1千瓦.问应供应多少瓦电力就能以99.9%的概率保证该车间不会因供电不足而影响生产? 解：对每台车床的观察作为一次试验，每次试验 是观察该台车床在某时刻是否工作, 工作的概率0.6 ,共进行200次独立重复试验. 用X表示在某时刻工作着的车床数， 依题意， X~B(200,0.6), 现在的问题是： P(X≤N)≥0.999 的最小的N. 求满足 设需N台车床工作， （由于每台车床在开工时需电力1千瓦，N台工作所需电力即N千瓦.） 由棣莫弗－拉普拉斯定理 近似N(0,1), 这里 np=120, np(1-p)=48 于是 P(X≤N)= P(0≤X≤N) 由3σ准则， 此项为0。 查正态分布函数表得 从中解得N≥141.5, 即所求N=142. ≥ 3.1, 故 例3 解 *