2014届高考数学(文)一轮复习课件选修4-5证明不等式的基本方法.ppt

　不同寻常的一本书，不可不读哟！ 1.了解证明不等式的基本方法：比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法． 2. 会用柯西不等式证明一些简单的不等式以及求一些特定函数的极值. 1种必会方法 综合法往往是分析法的相反过程，其表述简单、条理清楚．当问题比较复杂时，通常把分析法和综合法结合起来使用，以分析法寻找证明的思路，而用综合法叙述、表达整个证明过程． 2点必会技巧 1. 利用基本不等式求最值时，一定要注意“一正二定三相等”，同时还要注意一些变形技巧，积极创造条件利用基本不等式． 2. 常用的初等变形有均匀裂项、增减项、配系数等．利用基本不等式还可以证明条件不等式，关键是恰当地利用条件，构造基本不等式所需要的形式． 3点必须注意 1. 作差比较法适用的主要题型是多项式、分式、对数式、三角式，作商比较法适用的主要题型是高次幂乘积结构． 2. 放缩法的依据是不等式的传递性，运用放缩法证明不等式时，要注意放缩适度，“放”和“缩”的量的大小是由题目分析，多次尝试得出．放得过大或过小都不能达到证明目的． 3. 利用柯西不等式求最值，实质上就是利用柯西不等式进行放缩，放缩不当则等号可能不成立，因此，要切记检验等号成立的条件. (1)若x＋2y＋4z＝1，则x2＋y2＋z2的最小值是________． (2)x，y∈R，且x2＋y2＝10，则2x－y的取值范围为________． (2)分析法 从所要________入手向使它成立的充分条件反推直至达到已知条件为止，这种证法称为分析法，即“执果索因”的证明方法． (3)综合法 从已知条件出发，利用不等式的性质(或已知证明过的不等式)，推出所要证明的结论，即“由因寻果”的方法，这种证明不等式的方法称为综合法． (4)反证法的证明步骤 第一步：作出与所证不等式________的假设； 第二步：从________出发，应用正确的推理方法，推出矛盾的结论，否定假设，从而证明原不等式成立． (5)放缩法 所谓放缩法，即要把所证不等式的一边适当地________，以利于化简，并使它与不等式的另一边的不等关系更为明显，从而得到欲证不等式成立． 在证明不等式时综合法与分析法有怎样的关系？ [审题视点]　本题主要考查不等式证明的方法，考查运算求解能力及等价转化思想，可用作差比较法证明． [变式探究]　求证：a2＋b2≥ab＋a＋b－1. [变式探究]　设a≥b0，求证：3a3＋2b3≥3a2b＋2ab2. 证明：证法一　(综合法) ∵a≥b0，∴a2≥b2， 则3a2≥2b2，则3a2－2b2≥0. 又a－b≥0，∴(a－b)(3a2－2b2)≥0， 即3a3－2ab2－3a2b＋2b3≥0， 则3a3＋2b3≥3a2b＋2ab2. 故原不等式成立． 证法二　(分析法) 要证3a3＋2b3≥3a2b＋2ab2， 只需证3a3＋2b3－3a2b－2ab2≥0， 即3a2(a－b)＋2b2(b－a)≥0， 也即(a－b)(3a2－2b2)≥0，(*) ∵a≥b0，∴a－b≥0. 又a2≥b2，则3a2≥2b2，∴3a2－2b2≥0. (*)式显然成立，故原不等式成立. [审题视点]　(1)根据式子的特点，利用公式进行转化，根据集合相等确定m的值；(2)结合已知条件构造两个适当的数组，变形为柯西不等式的形式． 1. 已知a1≤a2，b1≤b2，则P＝a1b1＋a2b2，Q＝a1b2＋a2b1的大小关系是(　　) A. P≤Q　　　　　 B. PQ C. P≥Q　　 D. PQ 答案：C 解析：∵(a1b1＋a2b2)－(a1b2＋a2b1)＝(b1－b2)·(a1－a2) ∵a1≤a2，b1≤b2 ∴(b1－b2)·(a1－a2)≥0 ∴a1b1＋a2b2≥a1b2＋a2b1. 答案：C 答案：C 答案：MN 答案：MN 经典演练提能 第*页 选修4-5 第2讲 核心要点研究 经典演练提能 限时规范特训 课前自主导学 金版教程 · 高三数学（文） 第2讲 证明不等式的基本方法 课前自主导学 核心要点研究 此题用的是作差比较法，其步骤：作差、变形、判断差的符号、结论.其中判断差的符号为目的，变形是关键.常用的变形技巧有因式分解、配方、拆项、拼项等方法. 1.分析法要注意叙述的形式：“要证A，只要证B”，这里B应是A成立的充分条件. 2.综合法证明不等式是“由因导果”，分析法证明不等式是“执果索因”.它们是两种思路截然相反的证明方法.分析法便于寻找解题思路，而综合法便于叙述，因此要注意两种方法在解题中的综合运用. * * 第*页 选修4-5 第2讲 核心要点研究 经典演练提能 限时规范特训 课前自主导学 金版教程 · 高三数学（文）