42圆的对称性垂径定理及其推论学案.doc

好风光好风光恢复供货才 4.2圆的对称性——垂径定理及其推论学案 一、学习目标：1、通过直观演示了解圆的轴对称性。 2、通过“试验——观察——猜想——证明”掌握垂径定理及其推论。 3、运用垂径定理解决有关的证明、计算和作图问题。 4、培养学生的数学直觉能力、抽象概括能力。激发学生的探索精神。 二、知识链接 1、什么是轴对称图形 2、观察下列图形哪些是轴对称图形？ 圆的轴对称性 圆是轴对称图形 它有无数条对称轴 经过圆心的每一条直线都是它的对称轴 三、探究新知： )动手操作，观察猜想. 操作：CD是以点O为圆心的直径，过直径上任一点E作弦AB⊥CD，将圆0沿CD对折，比较图中的线段和弧，你有什么发现？ D D B A O C AE=BE, AD=BD,AC=BC (3)指导论证，引申结论. 四、巩固新知： 已知：在⊙O中，CD为直径，AB为弦，且CD⊥AB于点E， 求证： AE=BE, AD=BD,AC=BC 分析：直径CD所在直线既是等腰三角形OAB的对称轴，又是⊙O的对称轴，把⊙O沿直径CD折叠，由图形的重合，即可得到所求证结论。 D D B A O C E (3)指导论证，引申结论. 小组讨论：下列命题是否正确，说明理由 1、弦的垂直平分线经过圆心，且平分弦所对的两条弧。 2、平分弦所对一条弧的直径，垂直平分弦，且平分弦所对的另一条弧。 (3)指导论证，引申结论. 总结： 五个条件 (1)垂直于弦 (2)过圆心 (3)平分弦 (4)平分弦所对的优弧 (5)平分弦所对的劣弧 规律 知二 推三 (4)多方练习，分层评价. 例2、已知：如图在⊙O中，弦AB的长是8cm，圆心O到AB的距离为3cm，求⊙O的半径 解：联结OA，作OE⊥AB于E，则OE=3cm,AE=BE ∵AB=8cm ∴AE=4cm 在Rt中有OA= ? oB ? o B A E O =5cm ∴ ⊙O的半径为5cm 解后指出：从例2看出圆的半径OA，圆心到弦的垂线段OE及半弦长AE构成Rt△AOE.把垂径定理和勾股定理结合起来，解决这类问题就显得很容易了。 (4)多方练习，分层评价. ? ? 0 CC DD O C C D E 五、运用新知： A组 在圆中某弦长为8cm，圆的直径是10cm，则圆心到弦的距离是( )cm B组 在圆o中弦CD＝24，圆心到弦CD的距离 为5,则圆o的直径是( C组 若AB为圆O的直径，弦CD⊥AB于E， AE＝16，BE=4,则CD＝( ) D?C D ? C D O E C E O ? A B D C E O D E O B A C (4)多方练习，分层评价. 例3 如图已知⊙O的直径为4cm，弦AB= cm，求∠OAB的度数。 ? ? o A B O A B D 你还有没有其它方法？ 练习： 已知如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C、D两点。 ? o ? o O ? o D C B D A O E 解后指出：在圆中，解有关弦的问题时，常常需要作出“垂直于弦的直径”作为辅助线，实际上，往往只需从圆心作弦的垂线段。 (5)反思小结，布置作业. 六、回顾反思： 1、对垂径定理的理解(1)证明定理的方法是典型的“叠合法”(2)定理是解决有关弦的问题的重要方法(3)定理中反映的弦的中点，弦所对的两条弧的中点都集中在“垂直于弦的直径”上。圆、弦又关于直径所在的直线对称。 2、关于垂径定理的运用(1)辅助线的常用作法(2)注意把问题化为解直角三角形的问题