分段型面积轨迹问题的几何画板实现方法.doc

PAGE PAGE 1 好风光好风光恢复供货才 分段型面积轨迹问题的几何画板实现方法 ——高中新课程数学实验室 杨跃民 （福建省漳浦第一中学） 摘要 本文着力解决传统教学手段难以得到形象生动实现但在高中数学新课程理念中又是极力提倡应当加以实现的抽象数学问题，解决抽象几何问题的形象而动态实现方法，提供一种实现手段供老师们在新课程实验中参考。文中就若干分段型面积轨迹问题的几何画板实现手段介绍若干种方法，希望能引发讨论和反馈，亦即抛砖引玉。 关键词 新课程 分段型轨迹 表达式 图形 实现方法 1．前言 普通高中新课程实验工作实施以后，注重信息技术与数学课程、教学整合的重要性逐渐突显出来，老师们也开始越来越重视“21世纪的动态几何” 的几何画板在教学实践中的应用，这正是普通高中数学课程所倡导的基本理念之一。《普通高中数学课程标准（实 验）》明确提出：“现代信息技术的广泛应用正在对数学课程内容、数学教学、数学学习等方面产生深刻的影响。高中数学课程应提倡实现信息技术与课程内容的有机整合（如把算法融入到数学课程的各个相关部分），整合的基本原则是有利于学生认识数学的本质。高中数学课程应提倡利用信息技术来呈现以往教学中难以呈现的课程内容，在保证笔算训练的前提下，尽可能使用科学型计算器、各种数学教育技术平台，加强数学教学与信息技术的结合，鼓励学生运用计算机、计算器等进行探索和发现。” 现在可用于课件制作的软件平台很多，而“几何画板”是数学教师的首选，它简单易学，功能强大。几何画板动态探究数学问题的功能，在老师的引导下，《几何画板》可以给学生创造一个实际“操作”几何图形的环境。学生可以任意拖动图形、观察图形、猜测并验证，在观察、探索、发现的过程中增加对各种图形的感性认识，形成丰厚的几何经验背景，从而更有助于学生理解和证明。因此，《几何画板》还能为学生创造一个进行几何“实验”的环境，有助于发挥学生的主体性、积极性和创造性，充分体现了现代教学的思想。从这个意义上说《几何画板》不仅是教师教学的工具，更是学生的有力的认知工具。 由于对几何画板强大功能认识的局限性，老师们在利用几何画板动态探究数学问题的过程中难免会碰到一定的困难。当然，随着探索实践的深入，对几何画板强大功能认识的积累，困难终究是会得到解决的，但是这需要时间和精力，显然有时是不允许的。笔者在“几何画板”讲座中深刻体验到这种情况的真实存在。这里，笔者就一类分段型面积轨迹问题的几何画板实现方法作介绍，供老师同学们参考，并希望得到专家们的指导。 2．实例 2．1 例题1：如图，△OAB是边长为2的正三角形，记△OAB位于直线x=t（t0）左侧的图形的面积为f(t)。试求函数f(t)的解析式，并画出函数y= f(t)的图象。《普通高中课程标准实验教科书（人教A版）数学必修①》P125 B组第2题。 显然，这是两段型的分段面积轨迹问题，一段是三角形 面积，另一段是四边形面积。用几何画板实现有多方法，这 里介绍四种：方法1和方法2是在未求得y= f(t)的表达式 时实现轨迹的，能实现探究数学问题的功能。大量的数学问 题是属于这种情况，它是未知的，需要我们去探索求证，因 此，这类方法尤其有价值。方法3和方法4是在求得y= f(t) 的表达式时实现轨迹的，此类方法的实现有一个前提是“面积 轨迹”可以求得表达式，而表达式有时是难于求得的，因此，具有一定的局限性。 方法1：未求得表达式直接分段实现 ①首先，构造线段OA上的点C并过点C构造OA的垂线交线段OB于点D，构造△OCD并度量△OCD的面积，度量点C的横坐标t，绘制点（t，），并构造（t，）依赖于点C的轨迹（如图2）。 ②首先，将点C拖至靠近点A，构造垂线与线段AB有交点E，构造四边形OCEB并度量四边形OCEB的面积，绘制点（t，），并构造（t，）依赖于点C的轨迹（如图3）。 ③最后，由此即得到y= f(t)的图象（如图4）。 方法2：未求得表达式直接连续实现 ①首先，构造线段OA上的点C并过点C构造OA的垂线交直线OB于点D，构造△OCD并度量△OCD的面积，度量点C的横坐标t。 ②其次，构造垂线与直线AB的交点E，构造四边形OCEB并度量四边形OCEB的面积。 ③最后，利用符号函数sng（x）度量能分离和的计算式sng（1+sng（1-t））+ sng(1-sng（1+sng（1-t））) ，并绘制点（t，sng（1+sng（1-t））+ sng(1-sng（1+sng（1-t））) ），构造点（t，sng（1+sng（1-t））+ sng(1-sng（1+sng（1-t））) ）依赖于点C的轨迹，由此即得到y= f(t)的图象（如图5）。 以下方法是在求得y= f(t)的表达式后实现的。 依题意求得f(t)= 方法3：求得表达式直接分段实