2016高考数学大一轮复习 14.2矩阵和变换教师用书 理 苏教版.doc

§14.2　矩阵与变换 1．乘法规则 (1)行矩阵[a11　a12]与列矩阵的乘法规则： [a11　a12]＝[a11×b11＋a12×b21]． (2)二阶矩阵与列向量的乘法规则： ＝. (3)两个二阶矩阵相乘的结果仍然是一个矩阵，其乘法法则如下： ＝ (4)两个二阶矩阵的乘法满足结合律，但不满足交换律和消去律． 即(AB)C＝A(BC)， AB≠BA， 由AB＝AC不一定能推出B＝C. 一般地，两个矩阵只有当前一个矩阵的列数与后一个矩阵的行数相等时才能进行乘法运算． 2．常见的平面变换 (1)恒等变换：如； (2)伸压变换：如； (3)反射变换：如； (4)旋转变换：如，其中θ为旋转角度； (5)投影变换：如，； (6)切变变换：如(k∈R，且k≠0)． 3．逆变换与逆矩阵 (1)对于二阶矩阵A、B，若有AB＝BA＝E，则称A是可逆的，B称为A的逆矩阵； (2)若二阶矩阵A、B均存在逆矩阵，则AB也存在逆矩阵，且(AB)－1＝B－1A－1. 4．特征值与特征向量 设A是一个二阶矩阵，如果对于实数λ，存在一个非零向量α，使Aα＝λα，那么λ称为A的一个特征值，而α称为A的属于特征值λ的一个特征向量． 5．特征多项式 设A＝是一个二阶矩阵，λ∈R，把行列式f(λ)＝＝λ2－(a＋d)λ＋ad－bc，称为A的特征多项式． 1．在切变变换M＝作用下，直线y＝2x－1变为________． 答案　y＝－1 2．将椭圆＋＝1绕原点顺时针旋转45°后得到新的曲线方程为________________． 答案　7x2＋7y2＋2xy－24＝0 3．在对应的线性变换作用下，圆(x＋1)2＋(y＋1)2＝1变为________________． 答案　y＝x(－2≤x≤0) 4．计算：＝________. 答案　 题型一　求变换矩阵 例1　已知变换S把平面上的点A(3,0)，B(2,1)分别变换为点A′(0,3)，B′(1，－1)，试求变换S对应的矩阵T. 解　设T＝，则T：→＝ ＝＝，解得 T：→＝＝＝， 解得综上可知，T＝. 思维升华　知道变换前后的坐标，求变换对应的矩阵，通常用待定系数法求解． 　二阶矩阵M对应的变换将点(1，－1)与(－2，1)分别变换成点(－1，－1)与(0，－2)． (1)求矩阵M； (2)设直线l在变换作用下得到了直线m：x－y＝4，求l的方程． 解　(1)设M＝，则有＝， ＝， 所以，且，解得， 所以M＝. (2)因为＝＝ 且m：x′－y′＝4， 所以(x＋2y)－(3x＋4y)＝4， 整理得x＋y＋2＝0，所以直线l的方程为x＋y＋2＝0. 题型二　求逆矩阵 例2　求矩阵A＝的逆矩阵． 解　设逆矩阵为A－1＝， 则由＝， 得　解得 所以A－1＝. 思维升华　求逆矩阵的方法： (1)待定系数法 设A是一个二阶可逆矩阵，AB＝BA＝E2； (2)公式法 |A|＝＝ad－bc≠0，有A－1＝. 　(2013·江苏)已知矩阵A＝，B＝，求矩阵A－1B. 解　设矩阵A的逆矩阵为， 则＝，即＝ 故a＝－1，b＝0，c＝0，d＝， 从而A的逆矩阵为A－1＝， 所以A－1B＝＝. 题型三　特征值与特征向量 例3　(2014·福建)已知矩阵A的逆矩阵A－1＝. ①求矩阵A； ②求矩阵A－1的特征值以及属于每个特征值的一个特征向量． 解　①因为矩阵A是矩阵A－1的逆矩阵，且|A－1|＝2×2－1×1＝3≠0， 所以A＝＝. ②矩阵A－1的特征多项式为f(λ)＝＝λ2－4λ＋3＝(λ－1)(λ－3)， 令f(λ)＝0，得矩阵A－1的特征值为λ1＝1或λ2＝3， 所以ξ1＝是矩阵A－1的属于特征值λ1＝1的一个特征向量， ξ2＝是矩阵A－1的属于特征值λ2＝3的一个特征向量． 思维升华　已知A＝，求特征值和特征向量，其步骤： (1)令f(λ)＝＝(λ－a)(λ－d)－bc＝0，求出特征值λ； (2)列方程组 (3)赋值法求特征向量，一般取x＝1或者y＝1，写出相应的向量． 　已知二阶矩阵A有特征值λ1＝1及对应的一个特征向量e1＝和特征值λ2＝2及对应的一个特征向量e2＝，试求矩阵A. 解　设矩阵A＝，这里a，b，c，d∈R， 因为是矩阵A的属于λ1＝1的特征向量， 则有＝，① 又因为是矩阵A的属于λ2＝2的特征向量，则有＝，② 根据①②，则有 从而a＝2，b＝－1，c＝0，d＝1，因此A＝. 用坐标转移的思想求曲线在变换 作用下的新方程 典例：(10分)二阶矩阵M对应的变换T将点(1，－1)与(－2,1)分别变换成点(－1，－1)与(0，－2)． (1)求矩阵M； (2)设直线l在变换T作用下得到了直线m：x－y＝4，求l的方程． 思维点拨　(1)变换前后的坐标均已知，因此可以设出矩阵，用待定系数法求解． (2)知道直线l在变换T