18.正弦函数和余弦函数的奇偶性和单调性.ppt

正弦函数和余弦函数的奇偶性和单调性 (4) 正弦函数和余弦函数的奇偶性 对于正弦函数 y = sin x， 对于余弦函数 y = cos x ( x?R ) , 定义：如果函数 f (x) 是奇函数或偶函数，那么我们就说函数 f (x) 具有奇偶性 . 特别注意： （1）根据奇函数和偶函数的定义，如果一个函数是奇函数或偶函数，那么这个函数的定 义域一定关于原点对称 . 反过来，如果函数的定义域 关于原点不对称，那么这个函数就不具有奇偶性. （2）我们知道，函数单调性是针对某个区间来说 的，是函数的局部性质；而函数的奇偶性是对函数的 整个定义域来说的，因而奇偶性是函数的整体性质. 判断函数奇偶性的方法： 先考察一下它的定义域，如果定义域关于原点不 对称，则可得结论函数不具有奇偶性，如果定义域关 于原点对称，再继续利用函数奇偶性的定义进行判断. 由上面的讨论，因为 sin (-x) = -sin x，cos(-x) = cos x，所以 正弦函数是奇函数，余弦函数是偶函数. 所以，正弦曲线关于坐标原点 O 对称，余弦曲线 关于 y 轴对称. 下面我们将验证正弦曲线和余弦曲线的对称性，请点击下面的按钮 (5) 正弦函数和余弦函数的单调性 正弦函数的单调性 * 复习： （一）正弦函数和余弦函数的图像 （二）正弦函数和余弦函数的性质 (1) 定义域 正弦函数和余弦函数的定义域都是实数集 R. (2)值域： 正弦函数和余弦函数的值域都是 [-1，1] . (3)周期性：正弦函数和余弦函数都是周期函数， 2kp (k∈Z且k≠0) 都是它们的周期，最小正周期是2p. 设 (x，y) 即 (x，sinx) 为 y = sin x (x?R)图像上任一点，它 关于原点的对称点是 ( - x，- y )，也就是 (- x，- sinx ), 而由诱导公式，sin(-x) = - sinx， 所以，图象上任一点关于原点的对称点是 (-x，sin(-x))， 它也在 y = sin x (x?R) 图象上. 所以 , 正弦曲线关于原点对称. 定义：如果对于函数 f (x) 的定义域内任意一个 x，都有 f (-x) = - f (x)，那么函数 f (x) 就叫做这一 定义域内的奇函数. 奇函数的图象关于原点对称. 所以，正弦函数是奇函数，其图像关于原点对称. 设 (x，y) 即 (x，cos x) 为 y = cos x (x?R) 图像上任一点， 它关于 y 轴的对称点是 ( - x， y )，也就是 (- x，cos x ), 而由诱导公式，cos ( - x) = cos x， 所以，图象上任一点关于 y 轴的对称点是 (-x，cos (-x)) ,它 也在 y = cos x (x?R) 的图象上. 所以，余弦曲线关于y 轴对称. 定义：如果对于函数 f (x) 的定义域内任意一个 x，都有 f (-x) = f (x)，那么函数 f (x) 就叫做这一定 义域内的偶函数. 偶函数的图像关于 y 轴对称. 所以，余弦函数是偶函数，其图像关于 y 轴对称. 正、余弦曲线 的对称性 sin x x -1 0 1 0 -1 y = sin x，(x∈R) 增区间为 其值由-1增大到1； 减区间为 其值由 1 减小到 -1. *