╲〞任意角的三角函数╲〞片段教学.doc

“任意角的三角函数”片段教学 一、一、教学内容解析 本片断是新人教版A版高中数学必修4的1.2.1节的内容。 本片断的主要内容是任意角三角函数概念的形成过程。在初中，学生已学过锐角三角函数，知道直角三角形中锐角的三角函数等于相应边长的比值。在此基础上，随着本章将角的概念推广，以及引入弧度制后。这里相应地也要将锐角三角函数推广为任意角的三角函数，但它与解三角形已经没有什么关系了．任意角的三角函数研究的是一个实数集(角的弧度数构成的集合)到另一个实数集(角的终边与单位圆交点的坐标或其比值构成的集合)的对应关系，认识它需要借助单位圆、角的终边以及二者的交点这些几何图形的直观帮助，这中间体现了数形结合的思想． 三角函数是又一种基本初等函数，它作为描述周期变化现象的最常见、最基本的数学模型，不仅在高中数学中有广泛的应用，而且在其他领域中也具有广泛的应用．而任意角三角函数的概念又是整个三角函数内容的基础，所以它不仅是三角函数内容的核心概念，同时在高中数学中还占有重要的地位． 二、教学目标解析 学习理解任意角三角函数（正弦、余弦、正切）的定义，经历从锐角三角函数定义过渡到任意角三角函数定义的推广过程,体验三角函数概念的产生、发展过程,领悟直角坐标系和单位圆的功能,丰富数形结合的经验 在学生原有知识的基础上，通过启发、引导学生发现和得出任意角的三角函数的定义，培养学生观察、分析、探索、归纳、类比及解决问题的能力。利用几何画板直观演示，培养学生主动探索、善于发现的创新意识和创新精神在学习过程中通过相互讨论培养学生的团结协作精神；1．学生在理解用终边上任意一点的坐标来表示锐角三角函数时可能会出现障碍，原因是学生在此之前都是研究直角三角形中锐角的三角函数，并习惯了直观地用有关边长的比值来表示锐角三角函数．要克服这一困难，关键是帮助学生建立终边上点的坐标的比值与直角三角形有关边长的比值的联系。 2．学生在理解三个比值与终边上取的点的位置无关又可能会出现障碍，针对这一问题，通过几何画板演示，让学生明白对于一个确定的角，其三角函数值也就唯一确定了，表示其三角函数的比值不会随终边上所取点的位置的改变而改变。 3．学生在将坐标法定义锐角三角函数推广到定义任意角的三角函数时，还可能会出现障碍，主要原因还是受初中锐角三角函数定义的影响，仍然局限在直角三角形中思考问题。要帮助学生克服这一困难，就要让学生知道，借助直角坐标系，用终边与单位圆交点的坐标来表示三角函数，就是为了解决在直角三角形中不能定义任意角的三角函数的问题，用坐标法统一定义三角函数，不仅没有改变初中锐角三角函数定义的本质，同时还能定义任意角的三角函数。 四、教学重点与难点 重点：感悟并形成任意角三角函数定义，体会数形结合，类比启发探究数学思想在定义形成中的作用。 难点：任意角的三角函数概念的建构过程 五、教学方法 在多媒体课时支持下，在教师引导下，激励学生积极探究，亲自经历定义形成过程，主动建构自己的认知结构。 六、教学过程 1、复习在直角三角形中锐角三角函数的定义 当是锐角时 设计意图：温故知新，要让学生体会知识的产生、发展过程，就要从源头上开始，从学生现有认知状况开始，对锐角三角函数的复习就必不可少. 问题：对于给定的锐角, 在不同的直角三角形中，这三个比值会改变吗? （利用几何画板）当变化时，三个比值也随着变化；当一定时，不论的大小如何变化，三个比值是不变的。锐角三角函数是以角为自变量，以比值为函数值的函数 意图：意图：通过一系列问题的设计，引导学生发现锐角三角函数的定义。媒介从直角三角形改为平面直角坐标系后，锐角三角函数的定义可以用角的终边上的点的坐标来表示，从而得出锐角三角函数的坐标定义。 的顶点O与原点重合，OM与x轴的正半轴重合（如图， 则 sinα=, cosα=, tanα=。 设计意图：此处做法简单，思想重要. 为了顺利实现推广，可以构建中间桥梁或公共载体，使之既与初中的定义一致，又能自然地迁移到任意角的情形. 由于前一节已经以直角坐标系为工具来研究任意角了，学生自然能想到仍然以直角坐标系为工具来研究任意角的三角函数.引导学生用坐标表示锐角三角函数.的顶点与原点重合，始边与x轴的正半轴重合，如图，在平面直角坐标系中，，则 sinα=, cosα=, tanα=。 3、在直角坐标系中定义任意角的三角函数 问题：用角终边上的点的坐标来刻划的锐角三角函数，不受直角三角形的约束，那么任意角的三角函数是否可类似地用坐标来定义？任意角的三角函数的定义：?是一个任意角，它的终边任取点为P(x,y)（除原点外）, 它到原点的距离r=|OP|= 则?sinα=, 比值叫做?的正弦，记作， 比值叫做?的余弦，记作， 比值叫做?的正切，记作正弦、余弦、正切 设计意图：随着α的终边在