优秀数模论文 架空缆绳下垂.doc

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优秀数模论文 架空缆绳下垂

3.4 架空缆绳下垂 【第3次作业】 【组员:兰敏 隗杰(习题解答) 黄炎(编程作图)】 【时间:2010年7月18日】 1.如果符合分布和水平张力是已知的,形状能够唯一确定吗?为了得到唯一性,需要加什么条件? 解:不能,一个垂直的转化形状可能造成同样的重力分布,可以通过具体化截距来固定形状. 2.证明: . 证明:由题意的: 图3.4.1 力的平衡 图3.4.2 积分区域 缆绳载荷和形状的基本方程为: , , , 由图3.4.2知: , , . 3.如果是严格正的,证明是下凸的. 证明:缆绳载荷和形状的基本方程为: , 因为是严格正的,所以, 则是下凸的. 4.如果是偶函数,即,证明任何对应的形状函数都是关于y轴对称的. 证明:缆绳载荷和形状的基本方程为: , , , , , 又因为为偶函数则为奇函数, 则,, 所以,是关于y轴对称的. 5.如果形状函数是关于y轴对称的,证明对任意分布都是偶函数. 证明:由,知, 因为形状函数关于y轴对称的,则,且 , , 即 , , , 所以为奇函数,为偶函数 6.证明和都是由分布函数产生的形状函数. 解:依题意的: 综上得:和都是由分布函数产生的形状函数. 7.如果是由分布函数产生的形状函数,证明对任意的数,,也是由分布函数产生的形状函数. 证明:令,则,即满足, 即满足, 则也是由分布函数产生的形状函数. 8.如果,,我们称形状是标准化的,证明由给定的分布函数产生的唯一的标准化的形状是 . 证明:因为,则 , , , 图3.4.3 积分区域 积分变换: , 又 ,则 . 9.如果是产生形状函数的分布函数,证明对任意,也产生. 证明:得: 若任意 , , 令,得, 那么如果是产生形状函数的分布函数,证明对任意,也产生. 10.如果是总负荷为1的分布函数,即,是对应的形状,证明: . 证明:, ,, , , , 又,则 , 则. 11.对给定形状函数,证明存在唯一的总负荷为1的分布函数与之对应,即: . 证明:,, 有10得: , 则 . 12.求总负荷为1的分布函数,使得产生形状. 解:有11得:对给定形状函数,证明存在唯一的总负荷为1的分布函数,且 , 由题意得:,,则 ,, 又,则 . 13.如果分布函数是常数,证明形状函数是抛物线. 证明:由题意设:, , ,则 ,是抛物线. 14.如果形状函数是抛物线,证明分布函数是常数. 证明:设形状函数, , ,则 ,为常数. 15.求由分布函数 确定的标准化形状函数,并画出图像. 解:, 当时, 当时, 因为为标准化地形状函数,则 解出: , 得: . 画出函数图象: 图3.4.4 的函数图象 代码如下: x1=linspace(-1,0,1000); y1=6/7.*x1.^2+2/7.*x1.^3; x2=linspace(0,1,1000); y2=6/7.*x2.^2+1/7.*x2.^4; plot(x1,y1,x2,y2) 16.求产生形状函数 的具有总负荷为1的分布函数. 解:画出的函数图象: 图3.4.5 的图象 代码如下: x1=linspace(-3,0,100); y1=x1.^2; x2=linspace(0,2,100); y2=x2.^4+x2.^2; plot(x1,y1,x2,y2) 得: , 由11得 所以 得:. 17.记是正的分布函数列,是正的分布函数,满足 , 其中时,,记,分别是对应于,的标准化地形状函数.证明对任意的,在时,. 证明: 证明标准花的形状函数序列 是由分布函数序列 产生的,并证明时,且,. 证明:依题意得: 假定,其中时简化的符合缆绳模型中的形状函数,证明曲线在的切线在x轴上的截距就是上的负荷的质心. 证明:因为, 则设处斜率为,即 ,得 则在处的切线在x轴截距为. 而,则,得: , 图3.4.6 积分变换 据图,通过积分变换得 据题即证: 代入通风记得所证. 20.对无负荷缆绳模型,如果缆绳密度分布是常数,证明缆绳形状不可能是抛物线. 证明:用反证发证明. 假设是抛物线,设 则,,则 若为常数,不能保证等式恒成立 则假设不成立. 即若为常数,不可能是抛物线. 21.证明形状满足缆绳密度分布是常数的无负荷模型,其中. 证明:,则 , , 则 即, 若,即, 即当,时,等式成立, 即满足缆绳密度分布, 是常数的无负荷模型,此时. 22.如果形状满足一般的无负荷缆绳模型,证明缆绳密度分布是常数. 证明:满足,即, 则满足取定义域中的任何值时等式恒成立,则有 即, 即满足条件的密度分

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