金融交叉关联性中的随机矩阵论方法.doc

浙江大学本科生毕业论文（外文翻译） PAGE PAGE 3 金融交叉关联性中的随机矩阵论方法 摘要： 众所周知，经济体制中的两个公司都是相关的。即使是隶属于不同业界的公司都有可能因为“间接”的相互关系而有所关联。那我们怎么来分析并理解这些相互关系呢？本文回顾了近年来关于股票交叉相关性的成果。特别地，我们应用随机矩阵理论（RMT）来分析收益的相关矩阵C，这里的随机矩阵理论最初由理解复杂关联系统中各要素的相互关系的需要而形成。我们分析了1994-1995这2年间最大的1000股美国股票的30分钟的收益。我们发现，在最大特征值中大约20个的数据（2%）显示出了与RMT预测的偏差。为了检验剩下的特征值是否真的随机，我们测试了一些常见的性质，如特征值间的差距和相关性，并验证了矩阵C有着与随机矩阵的高斯正交综相同的性质。矩阵C的特征向量的分布证实了最大的几个特征值与RMT预测的偏差。同时，这些有偏差的特征向量在一段时间内是稳定的。另外，我们确定了与局部化理论中的反比参与率的概念中的特征向量十分相关的公司的数量。 关键词：随机矩阵理论；交叉相关；经济物理学 介绍 金融时间序列中越来越多的有关标度不变量分布和关联函数的例证吸引了几位物理学家的注意。原因之一是对引起标度不变量的机制的质疑。在物理系统中，无标度行为现象经常由远距离临近一个可调变量的临界值的关联引起。相似的，我们可以来理解金融数据中的标量不变量。首先，我们需要定量分析在系统中不同单元关联的本质。这样，解析组成市场的不同单元之间的关联的问题就有了科学意义。另外，对不同股票收益的关联的精确定量是有现实意义的，这种意义表现在可以定量分析股票市场、买卖的定价和预报的风险。 定量分析不同股票的价格变化之间的关联问题可以简化表达为下述问题。考虑一个含有很多气体分子的箱子，假设存在可以记录每个分子速度的机器。接下来，假设存在在一些气体分子中间存在随机的“配对化学键”。这样我们怎么确定哪些分子会连起来呢？这个问题很好解答：我们由分子的速度开始计算，得到交叉关联矩阵，其中表示的标准差，表示整个时间序列的平均数。若的记录是无限的，那么中的非零非对角元就对应了连接起来的一对分子。 将这个问题一步步变复杂，接下来我们假设不存在随机的“配对化学键”，而是会同时连接多个分子的“化学键”。这时我们怎么从速度记录中找出哪些分子会被连接在一起呢？一种做法是找出矩阵的主分量或特征值（特征向量）。的特征向量包含了相互连接的分子的信息，这与弹簧连接起来的N-body系统问题类似：哈密尔顿函数的特征向量包含了不同振动模式的信息。 下面假设由化学键连接的分子团并非一直保持不变，会有发展，也就是说，新的分子会连接到已经存在的分子团，已经属于某个分子团的一些分子也会加入其他分子团。在这种情况下，我们仍然可以分析交叉关联矩阵的主分量，因为它包含了一般来说在分析的时间内保持在某特定的分子团内的分子信息。如果这些化学键在短时间内稳定性差，那么我们观测的关联矩阵通常是随机的。 最后，若我们在这个问题的基础上加上条件：计算矩阵中元素的时间序列长度有限，那么，在我们分析的时间内分析确定哪些分子团保持连接状态就是个非常困难的问题。 股票间的关联 确定股票的相关性并非与上述讨论的复杂例子毫无关系。已经成本变动的时间序列（第支股票），由此我们可以计算关联矩阵的每个元素， ， （1） 其中是公司的价格波动的标准差，表示研究阶段的平均时间。定量分析任意两只股票的关联度的难处在于： 不同于大多数的物理系统，没有一个“算法”能够计算两个个公司（相当于磁铁的两极）之间的“相互作用力”。 虽然任意两个公司会直接或间接的相互作用，但这其中准备的作用本质仍然未知； 关联不是仅仅的配对关联，而可能是很多支股票相关联； 任意两支股票的关联度随时间而变化； 对任意一支股票，我们只可以从有限的记录中估测平均关联度。 为什么能够应用随机矩阵？ 当测量所得的关联数是随机的时候，不管是应用随时间变化的关联度还是用计算关联矩阵的有限长度，怎样才可以确定股票中哪些是相关的呢？理解有随机元矩阵的性质是个有历史的问题，这个问题最早出现于1950年Wigner的关于核物理的著作，后来又被Dyson和Metha所研究，并且很多结论都是被世人熟知的。在核物理学中对应的问题就是理解复核子的能量级别，因为经典物理学已经无法解释实验数据。 这个问题由Wigner解决。他做出一个大胆假设，组成核子的要素之间的相互作用可以被看作是随机的因为它们实在太复杂了。他还假设描述一个重核子的哈米尔顿H在矩阵表示下的元素是相互独立的随机数。根据此假设，Wigner得到了H统计特征值的性质，而这些性质跟实验数据十分相合。 随机矩阵理论（RM