2017春人教版高中数学必修五课件：1.2 第1课时 解三角形实际应用举例——距离问题2.ppt

【解析】如图所示，B是灯塔，A是船 的初始位置，C是船航行后的位置， 则BC⊥AD，∠DAB=30°，∠DAC=60°， 则在Rt△ACD中，DC=ACsin∠DAC=30sin60°= 15 (n mile)， AD=ACcos∠DAC=30cos60°=15(n mile)，则在Rt△ADB中，DB=ADtan∠DAB=15tan30°=5 (n mile)，则BC=DC-DB=15 -5 =10 (n mile). 答案：10 类型二 测量两个不可到达的点之间的距离 【典例】1.如图，CD是京九铁路线上的一 条穿山隧道，开凿前，在CD所在水平面上 的山体外取点A，B，并测得四边形ABCD中，∠ABC= ，∠BAD= ，AB=BC=400米，AD=250米，则应开凿的隧 道CD的长为______米. 2.如图，现要计算北江岸边两景点B与C的 距离.由于地形的限制，需要在岸上选取A 和D两个测量点，现测得AD⊥CD，AD=10km，AB=14km，∠BDA=60°，∠BCD=135°，求两景点B与C的距离.(假设A，B，C，D在同一平面内，测量结果保留整数；参考数据： ≈1.414) 【解题探究】1.典例1中测量两个不可到达的点之间的距离，一般是把距离如何转化？ 提示：测量两个不可到达的点之间的距离，一般是把求距离问题转化为应用余弦定理求三角形的边长问题. 2.典例2中，求BC的思路是什么？ 提示：先由余弦定理求出BD的值，然后由正弦定理求出BC. 【解析】1.在△ABC中，AB=BC=400米，∠ABC= ，所以△ABC为等边三角形，∠BAC= ，AC=AB=BC=400，又∠BAD= ，故∠CAD= ，所以在△ACD中，由余弦定理得CD2=AC2+AD2-2AC·ADcos∠CAD=4002+2502-2×400×250cos =122500，所以CD=350米. 答案：350 2.在△ABD中，设BD=x， 则BA2=BD2+AD2-2BD·ADcos∠BDA， 即142=x2+102-20xcos60°.整理，得x2-10x-96=0. 解得x1=16，x2=-6(舍去). 在△BCD中，由正弦定理，得 所以BC= ·sin30°=8 ≈11(km). 【延伸探究】 1.(变换条件)典例1中若把条件“∠ABC= ”改为“∠ABC= ”，其他条件不变，那么隧道CD的长又该是多少？ 【解析】如图： 由题意，易得∠DAC= ， AC2=AB2+BC2-2AB·BCcos =4002+4002-2×4002× =4002(2- ). CD2=AD2+AC2-2AD·ACcos =2502+4002×(2- )-2×250×400×( -1)× =482 500-260 000 ，所以CD≈179米. 2.(改变问法)典例1中，条件不变，试求∠ADC的余弦值. 【解析】如图：在△ABC中，AB=BC=400米，∠ABC= 所以△ABC为等边三角形，∠BAC= 又∠BAD= 故∠CAD= 所以在△ACD中，由余弦定理得， CD2=AC2+AD2-2AC·AD·cos∠CAD=4002+2502-2×400×250×cos =122500，所以CD=350米. cos∠ADC= 【方法技巧】测量不能到达的两点间的距离的方法及关键 (1)方法：测量不能到达的两点间的距离，利用正、余弦定理解斜三角形是一个重要的方法. (2)关键：构造一个或几个三角形，测出有关边长和角，用正、余弦定理进行计算. 【补偿训练】如图，某炮兵阵地位于A点， 两观察所分别位于C，D两点.已知△ACD为 正三角形，且DC= km，当目标出现在B 点时，测得∠CDB=45°，∠BCD=75°，则炮兵阵地与目标的距离是(　　) A.1.1km　　　B.2.2km　　　C.2.9km　　　D.3.5km 【解析】选C.∠CBD=180°-∠BCD-∠CDB=60°. 在△BCD中，由正弦定理，得BD= 在△ABD中，∠ADB=45°+60°=105°， 由余弦定理，得 AB2=AD2+BD2-2AD·BDcos105° 所以AB= ≈2.9(km). 所以炮兵阵地与目标的距离约为2.9km. 巧思妙解 图形分析法在求距离问题中的应用 【典例】(2015·广州高二检测)在某次军事演习中红方为了准确分析战场形势，在两个相距为 的军事基地C和D，测得蓝方两支精锐部队分别在A处和B处，且∠ADB=30°，∠BDC=30°，∠DCA=60°， ∠ACB=45°.如图所示，则蓝方这两支精锐部队的距离为__________. 【常规解法】由题意知∠AD