级二因式分解讲因式分解的常见变形技巧.docVIP

第四讲：因式分解的常见变形技巧 在因式分解学习过程中，除要掌握教材上介绍的三种基本方法：提公因式，公式法，分组分解法外，还常常要进行一些灵活的变换。下面就简单介绍一下这些常见的变换方法。掌握了这些变换方法后，这类因式分解问题基本可以迎刃而解了。需要说明的是，要想熟练掌握这些技巧，还需要同学们结合平时的练习去体验我们所讲的方法和思路。 技巧一 符号变换 有些多项式有公因式或者可用公式，但是结构不太清晰的情况下，可考虑变换部分项的系数，先看下面的体验题。 体验题1 (m+n)(x-y)+(m-n)(y-x) 指点迷津 y-x= -(x-y) 体验过程 原式=(m+n)(x-y)-(m-n)(x-y) =(x-y)(m+n-m+n) =2n(x-y) 小结 符号变化常用于可用公式或有公因式，但公因式或者用公式的条件不太清晰的情况下。 实践题1 分解因式：-a2-2ab-b2 技巧二 系数变换 有些多项式，看起来可以用公式法，但不变形的话，则结构不太清晰，这时可考虑进行系数变换。 体验题2 分解因式 4x2-12xy+9y2 体验过程 原式=(2x)2-2(2x)(3y)+(3y)2 =(2x-3y)2 小结 系数变化常用于可用公式，但用公式的条件不太清晰的情况下。 实践题2 分解因式 技巧三 指数变换 有些多项式，各项的次数比较高，对其进行指数变换后，更易看出多项式的结构。 体验题3 分解因式x4-y4 指点迷津 把x2看成(x2)2,把y4看成(y2)2,然后用平方差公式。 体验过程 原式=(x2)2-(y2)2 =(x2+y2)(x2-y2) =(x2+y2)(x+y)(x-y) 小结 指数变化常用于整式的最高次数是4次或者更高的情况下，指数变化后更易看出各项间的关系。 实践题3 分解因式 a4-2a4b4+b4 技巧四 展开变换 有些多项式已经分成几组了，但分成的几组无法继续进行因式分解，这时往往需要将这些局部的因式相乘的形式展开。然后再分组。 体验题4 a(a+2)+b(b+2)+2ab 指点迷津 表面上看无法分解因式，展开后试试：a2+2a+b2+2b+2ab。然后分组。 体验过程 原式= a2+2a+b2+2b+2ab =(a+b)2+2(a+b) =(a+b)(a+b+2) 小结 展开变化常用于已经分组，但此分组无法分解因式，相当于重新分组。 实践题4 x(x-1)-y(y-1) 技巧五 拆项变换 有些多项式缺项，如最高次数是三次，无二次项或者无一次项，但有常数项。这类问题直接进行分解往往较为困难，往往对部分项拆项，往往拆次数处于中间的项。 体验题5 分解因式3a3-4a+1 指点迷津 本题最高次是三次，缺二次项。三次项的系数为3，而一次项的系数为-4 提公因式后，没法结合常数项。所以我们将一次项拆开，拆成-3a-a试试。 体验过程 原式= 3a3-3a-a+1 =3a(a2-1)+1-a =3a(a+1)(a-1)-(a-1) =(a-1)[3a(a+1)-1] =(a-1)(3a2+3a-1) 另外，也可以拆常数项，将1拆成4-3。 原式=3a3-4a+4-3 =3(a3-1)-4(a-1) =3(a-1)(a2+a+1)-4(a-1) =(a-1)(3a2+3a+3-4) =(a-1)( 3a2+3a-1) 小结 拆项变化多用于缺项的情况，如整式3a3-4a+1，最高次是三，其它的项分别是一，零。缺二次项。通常拆项的目的是将各项的系数调整趋于一致。 实践题5 分解因式 3a3+5a2-2 技巧六 添项变换 有些多项式类似完全平方式，但直接无法分解因式。既然类似完全平方式，我们就添一项然后去一项凑成完全平方式。然后再考虑用其它的方法。 体验题6 分解因式x2+4x-12 指点迷津 本题用常规的方法几乎无法入手。与完全平方式很象。因此考虑将其配成完全平方式再说。 体验过程 原式= x2+4x+4-4-12 =(x+2)2-16 =(x+2)2-42 =(x+2+4)(x+2-4) =(x+6)(x-2) 小结 添项法常用于含有平方项，一次项类似完全平方式的整式或者是缺项的整式，添项的基本目的是配成完全平方式。 实践题6 分解因式x2-6x+8 实践题7 分解因式a4+4 技巧七 换元变换 有些多项式展开后较复杂，可考虑将部分项作为一个整体，用换元法，结构就变得清晰起来了。然后再考虑用公式法或者其它方法。 体验题7 分解因式 (x+1)(x+2)(x+3)(x+4)+1 指点迷津 直接展开太麻烦，我们考虑两两结合。看能否把某些部分作为整体考虑。 体验过程 (x+1)(x+