量子力学-王可嘉-第3讲 算符 schrodinger equation.pptVIP

量子力学 光电子科学与工程学院 王可嘉 第三讲目录 一、 简短的回顾 二、力学量的平均值 三、力学量用算符表示 四、薛定谔方程 五、量子力学的基本假设 一、简短的回顾(1) 一、简短的回顾(2) 一、简短的回顾(3) 一、简短的回顾(4) 一、简短的回顾(5) 二、力学量的平均值(1) 二、力学量的平均值(2) 三、力学量用算符表示(1) 三、力学量用算符表示(2) 三、力学量用算符表示(3) 三、力学量用算符表示(4) 三、力学量用算符表示(5) 三、力学量用算符表示(6) 三、力学量用算符表示(7) 四、薛定谔方程(1) 四、薛定谔方程(2) 四、薛定谔方程(3) 四、薛定谔方程(4) 四、薛定谔方程(5) 四、薛定谔方程(6) 四、薛定谔方程(7) 四、薛定谔方程(8) 四、薛定谔方程(9) 五、量子力学的基本假设（1） 五、量子力学的基本假设（2） 五、量子力学的基本假设（3） * * 第三讲 力学量的平均值 算符 薛定谔方程 量子力学中的基本假设 为了解释微观世界粒子的运动规律，人们提出了以下观点: 1、能量量子化：基于此，推出了Planck公式，解释了黑体辐射现象； 2、波粒二象性: 认为任何粒子都具有粒子和波动二重性。其中的波动，称为物质波，满足de Broglie公式： 3、不确定度关系:认为微观粒子的坐标和动量不可能同时完全确定。 为了使这些观点能用一个系统的理论来概括，人们首先做了以下工作： 既然粒子具有波动性，那么就应该用一个反映波动的函数来加以描述，即波函数 ，对于自由粒子，动量和能量是常数。 由平面波公式 由de Broglie公式 即自由粒子的波函数，对应为平面波 1、自由粒子波函数 2、任意粒子的波函数 对于描述任意粒子波动性的波函数，可以看作无限多个平面波的叠加。 对于波函数的物理意义，人们提出了各种解释，其中统计诠释为其中的一种。即： 应该是表示粒子出现在点 附近概率大小的一个量。 3、波函数的物理意义 由此要求波函数必须满足以下性质 1）可积性；2）归一化 3）单值性；4）连续性 4、不确定度关系与力学量的平均值 通过举例得到， ，由此得知一般情况下 和 不能完全确定。这样可以提出一个问题: 和 的什么值可以确定？ 根据统计诠释：微观粒子的位置和动量一般不是确定的，而是具有概率分布。根据概率论，一个随机变量可以求期望(平均值)这个确定值。那么， 和 的平均值可否确定？ 由此引出：力学量的平均值 表示粒子出现在点 附近的概率，那么粒子坐标的平均值，例如： 的平均值 ， 又如，势能 是 的函数，其平均值为: 再如，动量 的平均值为： 为动量的概率分布函数。 提出两个问题： 1、为什么不能写成 2、如果不行，能否用以坐标为自变量的波函数计算动量的平均值？ 由此引申出量子力学中重要概念：力学量的算符 算符：作用在一个函数上得出另一个函数的运算符号，设某种运算把函数 变为 ，表示为： 作用到平面波波函数 相当于 以坐标和动量为自变量的波函数之间的关系为， 动量的平均值 ，将(2)取复共轭带入 动量的平均值，用以动量为自变量的波函数表示： 用以坐标为自变量的波函数表示： 其中， 为动量 的算符 即：动量算符 坐标算符为坐标自身 动能 ，动能算符 动能平均值： 角动量： 角动量算符 角动量平均值 量子力学中，力学量用算符表示，若在经典力学中有力学量 ，则在量子力学中相应的力学量算符为： 量子力学假设之二 力学量 的平均值为： 若在经典力学中 ，则在量子力学中： 一个问题：根据坐标平均值的计算公式： 坐标平均值可否表示为： 对比前面的问题： 答案是肯定的 经典力学，确定粒子的坐标，即可确定所有的力学量： 坐标随时间演化方程： 问题：既然波函数 完全确定微观粒子的状态（基本假设），那么 如何随时间演化？ 牛顿方程 薛定谔方程 设任意状态微观粒子的波函数为： 根据Fourier变换，可以由平面波的叠加来表示 相当于 能量算符 利用能量算符，可以给出量子力学中的基本方程：薛定谔方程 经典粒子的能量： 两边同乘粒子的波函数: 根据量子力学的基本假设之二: 得到薛定谔方程： 量子力学的基本假设之三：描述体