量子力学-王可嘉-第4讲 一维问题.pptVIP

量子力学 光电子科学与工程学院 王可嘉 第四讲目录 一、能量本征方程回顾 二、一维无限深方势阱中的能量本征态 三、态叠加原理 四、方势垒的反射与透射 五、一维谐振子 六、再论态叠加原理 一、能量本征方程回顾(1) 一、能量本征方程回顾(2) 二、一维无限深方势阱中的能量本征态(2) 二、一维无限深方势阱中的能量本征态(3) 二、一维无限深方势阱中的能量本征态(4) 二、一维无限深方势阱中的能量本征态(5) 二、一维无限深方势阱中的能量本征态(6) 二、一维无限深方势阱中的能量本征态(7) 三、态叠加原理(1) 三、态叠加原理(2) 三、态叠加原理(3) 四、方势垒的反射与透射(1) 四、方势垒的反射与透射(2) 四、方势垒的反射与透射(3) 四、方势垒的反射与透射(4) 四、方势垒的反射与透射(5) 五、 一维谐振子(1) 五、 一维谐振子(2) 五、 一维谐振子(3) 五、 一维谐振子(4) 五、 一维谐振子(5) 五、 一维谐振子(6) 六、再论态叠加原理（1） 六、再论态叠加原理（2） 六、再论态叠加原理（3） * * 第四讲 一维无限深方势阱中的粒子 态叠加原理 方势垒的反射与透射 一维谐振子 薛定谔方程: 若 不显含 ，则有 其中， 满足的方程为： 能量本征方程， 称为能量本征函数， 称为能量本征值 是我们后面讨论大多数问题的理论基础。通常将略去 中的下标 ，这样能量本征方程为 二、一维无限深方势阱中的能量本征态(1) 1、一维无限深方势阱的势函数： 在 区域内，能量本征方程写为： 在 区域内，势能为 ，因此不可能在这些区域内出现，换句话说，粒子在这些区域内出现的概率为零，即 ，根据波函数三个标准条件中的连续性，有：边界条件 和 将边界条件 带入通解得到： 以及 因此能量本征函数为： 由 和 得到： 这说明：一维无限深方势阱中的粒子的能量是量子化的。 称为体系的能量本征值，与 对应的波函数 称为能量本征函数。 波函数的归一化 根据波函数的统计诠释,要求波函数必须归一化，即： 归一化波函数为： 结果物理意义的讨论： 1、最低能量 (思考：为什么 不能为零？) 对于经典粒子，可以有 2、坐标不确定度： 根据不确定度关系 即：一维无限深方势阱中的粒子动量也是不能完全确定的。 3、波函数的节点，即波函数为零的点。 在 内， 有 个节点，在这些节点上 说明粒子在这些节点上出现的概率为零。对于经典粒子来说，它在 内任何一点都有可能出现。 思考：若 ，会出现什么情况？ 4、束缚态 对一维无限深方势阱： 即: 这说明粒子被束缚在势阱内部。通常把在无限远处为零的波函数所描写的状态称为束缚态。一般来说，束缚态所属的能级是分立的，例 一个问题 对一维无限深方势阱： 根据量子力学假设之一：波函数完全描述粒子的状态。但是在阱内有无穷多个波函数，那么粒子究竟处在哪个状态呢？ 态叠加原理 一维无限深势阱中，粒子在中可能的态和能量为 态叠加原理 一般情况下，粒子并不只是完全确定的处于其中的某一状态，而是以某种概率处于其中的某一状态。换句话说，粒子的状态是所有这些分立状态的叠加，即 一维无限深势阱中，粒子的状态为 表示在 中发现粒子处于态 ，具有能量 的概率。 经典物理：粒子只能处于某一确定的态，但在量子力学中，粒子是以一定概率处于某个可能的态，概率为展开式系数的模方。为波函数统计诠释的自然结论。 4、将体系的状态波函数 用算符 的本征函数 展开，其中： 则在体系 态中测量力学量 得到结果为 的概率为 ，得到结果 范围内的概率是 。 量子力学基本假设之四 广义的结论：任何一个量子态都可按任意一组正交、归一、完备态分解。 经典粒子 量子粒子 越过势垒 绝对不可能越过势垒，换句话说：越过势垒的概率为零！ 求解能量本征方程： 能量本征方程： 方程的解为： 粒子流密度： 反射系数 ，透射系数 能量本征方程： 方程的解为： 根据波函数的标准条件之一：连续性 入射波 反射波 透射波 求解线性方程组有： 有关系： 粒子的势垒贯穿 电子的势垒贯穿 当势垒宽度为原子限度时，透射相当可观。