量子力学-王可嘉-第6讲 算符的运算规则.pptVIP

量子力学 光电子科学与工程学院 王可嘉 第六讲 算符的运算规则 厄米算符 第6讲目录 一、算符引入的回顾 二、力学量在坐标表象下算符的形式 三、算符的运算规则 四、算符的对易关系 五、厄米算符 六、例题 一、算符引入的回顾 二、力学量在坐标表象下算符的形式 三、算符的运算规则（1） 三、算符的运算规则（2） 三、算符的运算规则（3） 四、算符的对易关系（1） 四、算符的对易关系（2） 四、算符的对易关系（3） 四、算符的对易关系（4） 四、算符的对易关系（5） 四、算符的对易关系（6） 四、算符的对易关系（7） 五、厄米算符（1） 五、厄米算符（2） 五、厄米算符（3） 五、厄米算符（4） 五、厄米算符（5） 五、厄米算符（6） 六、例题(1) 六、例题(2) 六、例题(3) 六、例题(4) * * 为了在坐标表象中计算动量的平均值: 引入了动量算符: 从而，动量平均值可以表示为: 动能 ，动能算符 其中： 动能平均值： 角动量 ，角动量算符 角动量平均值： 1、线性算符 则称 为线性算符，如: 2、单位算符 则称 为单位算符，并记为 3、算符相等 对算符 和 ,若 ，则称两个算符相等，记为 4、算符之和 5、算符之和的交换律和结合律 6、算符之积 一般说来，算符之积不满足交换律，即： 由此导致量子力学中的一个基本问题： 对易关系 1、对易式 简记为： ，通常情况： 动量算符在坐标表象中： 以 为例，坐标表象中， ，计算 2、坐标动量对易关系——最基本对易关系 同理： 但是， 即： 归纳起来，得到： 3、角动量的对易式 角动量： ， 所以角动量算符： 在坐标表象中： 顺时针：正号 逆时针：负号 角动量算符和坐标算符的对易关系 同理可得： 同样可证明： 令： ,称为角动量平方算符，有： 同理证明： 即： 4、对易恒等式 同理可得： 1、逆算符 已知算符 和任意波函数 ，若存在唯一的 ， 使得 ，则可将 表示为 ，其中： 束缚态条件 2、转置算符 3、共轭算符 4、厄米共轭 5、厄米算符 6、厄米算符的平均值(1) 定理：体系的任何状态下，厄米算符的平均值为实数 逆定理：在任何状态下平均值均为实的算符必为厄米算符 6、厄米算符的平均值(2) 为什么 等都是厄米算符？因为它们都是实验上的可观察量，因此，它们在任何状态下的平均值都应该是实数，因而，它们应该都是厄米算符。 推论：厄米算符平方的平均值大于等于零 例1：设势场为 证明阱口刚好出现一个束缚态能级 （即 ）的条件为 其中， 证明：当 时 ，能量本征值方程为: 解得: 当 时，能量本征值方程为: 由束缚态条件 ,解得: 当 时，能量本征值方程为: 由束缚态条件 解得: 因为阱口刚好出现一个束缚态，即 所以 所以 根据 ， 在 和 连续，可知： 势阱刚好出现束缚态的条件为： 例2：证明：动量表象当中 坐标表象中坐标平均值计算公式为： 根据傅立叶变换可得： 取复共轭后代入 有：