量子力学-王可嘉-第8讲 测不准关系的严格证明.pptVIP

量子力学 光电子科学与工程学院 王可嘉 第八讲 连续谱本征函数的归一化 测不准关系的严格证明 共同本征函数 第8讲目录 一、连续谱本征函数 二、连续谱本征函数的归一化与δ函数 三、不确定度（测不准）关系的严格证明 四、共同本征函数 五、习题 一、连续谱本征函数（1） 一、连续谱本征函数（2） 二、连续谱本征函数的归一化与δ函数（1） 二、连续谱本征函数的归一化与δ函数（2） 二、连续谱本征函数的归一化与δ函数（3） 二、连续谱本征函数的归一与δ函数（4） 二、连续谱本征函数的归一化与δ函数（5） 三、不确定度（测不准）关系的严格证明(1) 三、不确定度（测不准）关系的严格证明(2) 三、不确定度（测不准）关系的严格证明(3) 三、不确定度（测不准）关系的严格证明(4) 三、不确定度（测不准）关系的严格证明(5) 四、共同本征函数(1) 四、共同本征函数(2) 四、共同本征函数(3) 四、共同本征函数(4) 四、共同本征函数(5) 四、共同本征函数(6) 四、共同本征函数(7) 四、共同本征函数(8) 四、共同本征函数(9) 四、共同本征函数(10) 习题 （1） 习题 (2) * * 1、动量 分量的本征值与本征函数 设本征值与本征函数为 和 ，本征方程为： 若 ，则 ，为连续变化： 所以称 为连续谱本征函数： 不能用一般的方式进行归一化 2、一维自由粒子的能量本征态 一维自由粒子的哈密顿量算符为： 能量本征方程为： 解为： 也是连续谱本征函数，不能用一般的方式进行归一化. 1、δ函数的定义与性质 定义： 或者 性质： 2、δ函数的积分表达式 在 的一个领域内连续，则： 由Fourier积分公式，有： 对比(1)和(2)式： 3、连续谱本征函数的归一化(1) 动量本征态为 ，若取： 则 ，做积分 即： 对比(3)式： 有： 3、连续谱本征函数的归一化(2) 已证明， 为坐标算符的本征态， 为本征值。做积分 4、连续谱本征函数的归一化困难 问题：对于 和 ，有 ， 和 为厄米算符，则 ， 结论为： 【证明】：设任意波函数 以及任意实数 做积分： 其中： 所以可令 带入上式 令： 简记为： 问题：若 ，会出现什么情况？ 设 若 ，则可能存在 ，使得： 若 ，则 称 为算符 和 的共同本征函数 1、定义 2、共同本征函数的例子(1) 例1：动量 的共同本征函数 拥有共同本征态，即平面波： 即： 2、共同本征函数的例子(2) 例2：坐标 的共同本征函数(2) 拥有共同本征态： 两边同时乘上 有： 所以 为算符 属于本征值 的本征态： 2、共同本征函数的例子(3) 同理可得： 即： 为算符 属于本征值 的本征态： 所以 是 的共同本征态。 2、共同本征函数的例子(4) 例3： 的共同本征函数 球坐标下： 和 拥有共同本征函数。 已知 的本征值和本征函数为： 2、共同本征函数的例子(5) 设 的本征函数为 ，本征值为 ，本征方程写为： ，分离变量： 因为 和 拥有共同本征函数。所以 也是 的本征函数，又因为 只对 起作用，所以有： 将 代入 有： 2、共同本征函数的例子(6) 2、共同本征函数的例子(7) 2、共同本征函数的例子(8)