量子力学-王可嘉-第10讲 无限深球方势阱.pptVIP

量子力学 光电子科学与工程学院 王可嘉 第十讲 无限深球方势阱 三维各向同性谐振子 目录 一、中心力场的径向方程的回顾 二、无限深球方势阱 三、三维各向同性谐振子 一、中心力场的径向方程的回顾(1) 一、中心力场的径向方程的回顾(2) 一、中心力场的径向方程的回顾(3) 二、无限深球方势阱(1) 二、无限深球方势阱(2) 二、无限深球方势阱(3) 二、无限深球方势阱(4) 二、无限深球方势阱(5) 二、无限深球方势阱(6) 二、无限深球方势阱(7) 二、无限深球方势阱(8) 二、无限深球方势阱(9) 三、三维各向同性谐振子(1) 三、三维各向同性谐振子(2) 三、三维各向同性谐振子(3) 三、三维各向同性谐振子(4) 三、三维各向同性谐振子(5) 三、三维各向同性谐振子(6) 三、三维各向同性谐振子(7) 三、三维各向同性谐振子(8) 三、三维各向同性谐振子 (9) 三、三维各向同性谐振子(10) 三、三维各向同性谐振子(11) 三、三维各向同性谐振子(12) * * 设质量为 的粒子在中心势场 中运动，则哈密顿量： 考虑到中心势场 是球对称的，采用球坐标 能量本征方程写为： 在给定 后可确定本征态 和本征值 能量本征方程写为： 根据分离变量法： 组成力学量完全集 因此 既是 的本征函数，也是 和 的共同本征函数，由此可得： 将 代入能量本征方程： 得到关于 的径向方程： 令： 有： 称为径向波函数，取决于 的形式。 无限深球方势阱： 能量本征方程写为： 解可写为： 其中 满足径向方程： 1、 态情况（即 的情况） 态情况 在边界条件 下求解方程 势阱内 ： 令 又因为 所以能量本征值： 由归一化条件： 2、非 态情况（即 的情况） 势阱内 ： 令 径向方程写为： 称为球Bessel方程，其解： 称为球Bessel函数： 边界条件： 下，有 令 因此由 可以求出根 ， 表示 的节点数。 画图求解 Mathematica ， 所以令 由归一化条件可得： 3、解的讨论 (1)、能级： (2)、本征函数： 与 相对应的能量本征函数： 其中： 所以当 和 确定后， 给定，但 即共有 个 ，每个 对应 个 所以能级是 度简并 (3)、简并态的分类 每个 对应 个 ，即能级是 度简并 因为 是 的共同本征函数，因此可以利用 和 的本征值对应的量子数 和 对 进行分类，从而保证对应同一能级 的 个不同本征态 之间的正交性得到保证： 以 为例： 对应 个 即： 为三重简并。 正交归一性表示为： 因此可见，利用力学量完全集，可以解决对应同一能级 的不同简并态 之间的正交性问题！ 三维各向同性谐振子势能项： 具有中心对称性，径向方程写为： 采用自然单位，令 ，有： 求解思路：可令 ，将关于 的方程转换为 的方程，而 则从 和 时的渐进行为中获得。 1、波函数的统计诠释对波函数的渐进行为的要求 对任意波函数 ，若 ，则 是 的奇点，粒子出现在 概率应该为0。 设体积元 是以 为球心、半径为 的小球，如果要求积分