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2015年数学建模国赛A题全国优秀论文32
基于规划模型的太阳影子定位策
摘要
本文研究的是由太阳影子变化确定地点和日期的问题,根据太阳高度角及相关参数的
算法建立太阳影子定位和定时的模型,在实际生活中有较强的实用性。
对于问题一,首先根据太阳高度角、时角、均时差和太阳赤纬的算法建立影子长度与
经度、纬度、时间、日期、杆高的数学关系,表明影子长度与这5个参数有关,为进一步
分析影子长度与各个参数的关系,通过控制变量的方法,建立5个模型分别观察影子长度
随5个影响参数的变化情况。然后根据影子长度随时间变化的模型,绘制出3米高直杆影
子长度的变化曲线,发现在北京时间11点58分时影长最短。
基于问题一可知影长与5个参数有关,问题二中纬度、经度和杆高为未知量,问题三
中纬度、经度、杆高和日期为未知量,均可建立杆高关于其他未知量的数学关系式,采用
遍历算法求解:对于问题二,对经纬度进行遍历运算,对于问题三,对经纬度和日期进行
遍历运算。并依据测量时刻和影子变化方向对经纬度范围加以约束,对得到的每一组经纬
h
度值,回代入关系式求出各北京时刻的杆高 ,基于实际杆高一定,根据杆高方差最小原
则筛选经纬度和日期,最后求得附件1的直杆可能位于海南、云南和越南,对附件2的直
杆存在8个可能的日期和一个可能的地点新疆,对附件3的直杆存在8个可能的日期和5
个可能的地点,分别为湖北、陕西、甘肃、重庆、河南。
对于问题四,首先对所给视频进行压缩,然后读取视频并按照一定的时间间隔提取画
面,利用Matlab软件自带的像素坐标系,测得直杆底端和影子顶端的坐标,从而求得影长。
采用问题二的遍历算法模型,拍摄日期已知时,建立影长与经纬度的数学关系式,对经纬
度进行遍历运算;拍摄日期未知时,建立影长关于经纬度和日期的关系式,对经纬度和日
期进行遍历运算。并依据测量时刻和影子变化方向对经纬度范围加以约束,对得到的每一
组经纬度值,回代入关系式求出各北京时刻的影长,根据回代影长与测量影长的平均相对
误差最小原则筛选经纬度和日期。最后,若日期已知,可确定内蒙古、山西和蒙古可能是
直杆所在位置;若日期未知,存在5个相互对应的日期和地点,并对回代结果的平均相对
误差进行检验,相对误差值均小于1%,表明所得结果可信度高。
最后,对问题二中的杆长范围进行灵敏度分析,改变杆长范围后定位结果发生变化。
同时对模型的优缺点进行评价,并提出改进的方向。
关键词:太阳影子定位 遍历算法 规划模型
3
一、问题的背景与重述
1.1 问题的背景
确定视频的拍摄地点和拍摄日期是视频数据分析的重要方面,太阳影子定位技术就是
通过分析视频中物体的太阳影子变化,确定视频拍摄的地点和日期的一种方法。在实际生
活中,根据影子定位可以确定时间和地点从而解决一系列问题,而影子定位技术也广泛应
用于许多领域。
1.2 问题的重述
请建立合适的模型,解决一下问题:
1.建立影子长度变化的数学模型,分析影子长度关于各个参数的变化规律,并用建立
的模型画出2015年10月22 日北京时间9:00-15:00之间天安门广场 (北纬39度54分26
秒,东经116度23分29秒)3米高的直杆的影子长度的变化曲线。
2.根据某固定直杆在水平地面上的太阳影子顶点坐标数据,建立数学模型确定直杆所
处的地点。并将模型应用于附件1的影子顶点坐标数据,给出若干个可能的地点。
3. 根据某固定直杆在水平地面上的太阳影子顶点坐标数据,建立数学模型确定直杆所
处的地点和日期。并将模型分别应用于附件2和附件3的影子顶点坐标数据,给出若干个
可能的地点与日期。
4.附件4为一根直杆在太阳下的影子变化的视频,并且已知直杆的高度为2米。请建
立确定视频拍摄地点的数学模型,并应用模型给出若干个可能的拍摄地点。如果拍摄日期
未知,能否根据视频确定出拍摄地点与日期。
二、问题的分析
2.1 名词解释
[1]
太阳赤纬角:太阳光线与地球赤道面所夹的圆心角,称为太阳赤纬角 ,它是表征不
同季节的一个数值
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