2015年数模国赛A题.pdf

太阳影子定位 摘要 目前，如何确定视频的拍摄地点和拍摄日期是视频数据分析的重要方面，颇具研究 意义。本文通过建立数学模型，给出了通过分析视频中物体的太阳影子变化，确定视频 拍摄的地点和日期的方法。 针对问题一，以太阳高度角为切入点，通过建立直杆所在地的地平坐标系及第一赤 道坐标系可分析出影子长度与杆的高度、观测地经纬度、观测日期及时间的关系。进而 可以建立影子长度变化的数学模型。利用Mathematica 软件编写程序做出题目要求的时 间段内的杆的影长变化曲线以及影长关于各个参数的变化曲线以观察影长关于各个参 数的变化规律。通过求解得到，天安门广场影长最短的时间出现在12 点12 分。 针对问题二，建立空间定位模型。利用影长、太阳方位角与时间的关系进行建模。 利用附件中所给数据算出影长并将其与时间进行二次拟合，得到拟合函数及影长最短的 具体时间，进而结合问题一所建立的模型可以得到该地的经度。为提高计算精度并消除 误差，将太阳方位角与时间进行三次拟合，并结合目标规划模型利用最小二乘法、二分 法使太阳方位角的计算误差最小，从而算出较为准确的地理纬度。求解得到附件1 中所 给数据的地点为东经109°22’59’’北纬18°11’15’’，即海南省三亚市56 公里外的海域。 针对问题三，建立时空定位模型。该地经度以及这一天最有可能的纬度可以利用问 题二中所建立的空间定位模型得到。继而利用遍历法结合最小二乘法以及二分法遍历一 年365 天，找到使误差最小的日期以及最合适的纬度。利用C 语言编程求解可以得到附 件2 中所给数据的日期为5 月18 日，地理位置为东经72°19’48’’，北纬33°56’15’’，即 巴基斯坦的伊斯兰堡。附件3 中所给数据的日期为4 月 2 日，地理位置为东经 108° 56’42’’，北纬31°41’5’’，即重庆市城口县。 针对问题四，建立视频定位模型。首先对所给视频进行处理，将视频导入Matlab， 每隔两分钟截取一帧，继而利用像素尺量取图像上各个点的坐标，并利用杆长两米的条 件进行比例变换。为了消除图像畸变，我们建立两个不同的坐标系进行坐标系变换。将 预处理后的数据，利用问题二、三中建立的模型进行求解，得到最终的结果为：已知日 期时，地点为东经 127°37’55’’，北纬 48°11’29’’，即黑龙江省黑河市。日期未知时，日 期为4 月18 日，地理位置为东经127°37’55’’，北纬13°18’45’’，即菲律宾东部海域。 关键词 ：坐标系变换，二、三次拟合，目标规划模型，最小二乘法，遍历法，像素尺 1 一、问题的重述 1.1 问题的背景 在当今视频拍摄技术高速发展的时代，对视频数据的分析处理逐渐成为一项重要 的研究课题，而如何确定视频的拍摄地点和拍摄日期是视频数据分析的重要方面。其中 一种简单的情形是：通过分析视频中物体的太阳影子变化，通过测量影子方位及长度与 杆的实际长度、经纬度、时间等参数，确定视频的拍摄地点和拍摄日期，这一技术也称 为太阳影子定位技术。 1.2 问题的重述 1、建立影子长度变化的数学模型，分析影子长度关于各个参数的变化规律，并应 用你们建立的模型画出2015 年10 月22 日北京时间9:00-15:00 之间天安门广场（北纬 39 度54 分26 秒,东经116 度23 分29 秒）3 米高的直杆的太阳影子长度的变化曲线。 2、根据某固定直杆在水平地面上的太阳影子顶点坐标数据，建立数学模型确定直 杆所处的地点。将你们的模型应用于附件1 的影子顶点坐标数据，给出若干个可能的地 点。 3、根据某固定直杆在水平地面上的太阳影子顶点坐标数据，建立数学模型确定直 杆所处的地点和日期。将你们的模型分别应用于附件2 和附件3 的影子顶点坐标数据， 给出若干个可能的地点与日期。 4 、附件4 为一根直杆在太阳下的影子变化的视频，并且已通过某种方式估计出直 杆的高度为2 米。请建立确定视频拍摄地点的数学模型，并应用你们的模型给出若干个 可能的拍摄地点。 如果拍摄日期未知，你能否根据视频确定出拍摄地点与日期？