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A-5(3,4)定积分换元分部与广义积分
§3. 定积分的换元法
与 分部积分法
1
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一、 定积分的换元积分法
定理：设f (x) 在 [a, b] 连续；
作变换 x (t) , 且满足：
（1）t 在[, ] 上变化时，x (t ) 在[a,b]
上单值变化；
（2） () a, ( ) b,
（3）函数 (t) 在 [, ] 上有连续导数；
则有定积分换元公式：
b
a f (x ) d x f (t ) (t ) d t
2
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即有定积分 b f (x ) d x 令 x (t ) ，
的换元法： a 则dx (t )dt ，
f (t ) (t )dt (t )
() a, ( ) b, ( ) ()
注意：
1. 令 x (t ) 后，积分上、下限一定要
换成相应于新变量t 的积分限。
2. 求出原函数Φ(t) 后，直接代入新变量
t 的上,下限，不必再回代到原来变量。
3
例题
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例题讨论
1 x
1. 0 1 3x d x
2 2
令 1 3x t , x (t 1) 3, dx t d t ,
解：
3
x = 0 t 1, x = 1 t 2,
1 2 2
2 (t 1) t d t 2 2 2
原式 1 3 t 3
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