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Fibonacci数列与矩阵连乘
Fibonacci数列与矩阵连乘
东北林业大学(NEFU) by ACdreamer
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本章要点：主要介绍Fibonacci数列和矩阵乘法原理以及在ACM-ICPC竞赛中的应用。
1.初识Fibonacci数列
2.Fibonacci数列典例
3.矩阵乘法的基本原理
4.Fibonacci数列与矩阵连乘
5.矩阵乘法的拓展
1.初识Fibonacci数列
Fibonacci数列是这样一个序列，它的第一项和第二项为1，从第三项起，以后每项是
前两项之和，则称该数列为Fibonacci数列。那么有：
1 n 1,2
⎧
f (n) ⎨
⎩ f(n −1) +f (n −2) n 2
上面的仅仅是一个递推式，实际上Fibonacci数列是有通项公式的，它的通项公式为：
1 1+ 5 1− 5
n n
f (n) [( ) −( ) ]
5 2 2
那么，它的通项公式是怎么得到的呢 ？在这里将会详细介绍Fibonacci数列通项公式的
推导过程，这种方法在信息学竞赛中的很多题目都会用到，后面讲解会有相应的题目。
首先，我们要知道什么是特征根。当然在求特征根之前要先列出特征方程，比如Fibonacci
2
数列的特征方程就是 ，解出的 就是特征根。我们得到：
x x +1 x
1± 5
x ，然后可以推出
2
1+ 5 1− 5 1+ 5
f n − f n−1 (f n−1 − f n−2 )
2 2 2
1− 5 1+ 5 1− 5
f n − f n−1 (f n−1 − f n−2 )
2 2 2
当然，进一步得到：
1+ 5 1− 5 n−1 1+ 5
f n − f n−1 ( ) (f 1 − f 0 )
2 2 2
1− 5 1+ 5 n−1 1− 5
f n − f n−1 ( ) (f 1 − f 0 )
2 2 2
这里，f 0 0,f 1 1，我们联立两式消去f n−1 ，最终得到：
1 1+ 5 1− 5
n n
f n [( ) −( ) ]
5 2 2
以上就是Fibonacci数列的基本介绍。
2.Fibonacci数列典例
在ACM竞赛中，有很多数学类的题目都是与Fibonacci数列有关的，因此很有必要学好并灵
活运用Fibonacci数列。下面我们就来看一些关于Fibonacci数列的典型例子。
例1 fibs的组合(nefu 462)
n
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