流体有限元-抛物型方程`.docVIP

§6非定常流的有限元方法 考虑一个 阶的微分方程定解问题（边值问题）：求 ，满足 （.1） 式中 是一个 阶椭圆型微分算子。§3中的分析，只需考虑齐次强制边界条件。 我们还是§3那样，将它改写成积分形式（变分方程）任取函数 ，用它乘以方程的两边，并在 上积分，得 上式除了左边第一项之外，两项仍可以按照 §中的步骤改写成某个Sobolev空间 上的变分方程 ， 并推广到可积函数空间（广义的，指Lebesgue可积） 上。 还有，定解条件中的初始条件也要写成积分形式 这些加在一起，就得到非定常问题的变分方程： 求 ，满足 （.2） 内积 表示积分 ， 和 仍是空间 上的双线性泛函和线性泛函，初值泛函 。 例： 即 其变分方程为： 求 ， ，满足 方程中 ， ， 半离散化有限元近似 半离散化就是只对空间区域 进行离散化（有限元剖分），时间自变量不进行离散。下面按照古典变分方法的框架来介绍半离散化方法。 在空间 中选取一组线性无关的元素 ， ， ， 作为基函数，用它们张成一个有限维（维）子空间 这个子空间中的元素都可以（用它的整体自由度）写成 而现在的有限元近似 和精确解 一样，还是时间自变量 的函数，所以它应该表示成 式中的整体自由度 （）。 则有限元近似变分方程为：求 ，满足 ， （.3） （.2）、 和 的表达式代入上述变分方程，得 定义总刚矩阵 质量矩阵 和向量 ， ， 则上述方程组可写成 由于 是任意的，所以向量 也是任意的，从而导出了常微分方程初值问题 或写成 （.4）（.4）Runge-Kutta方法这类的数值算法。这个时候，时间自变量还是要离散化的。 全离散化有限元近似 全离散化，就是在空间离散化的同时也对时间自变量进行离散。为此，取时间步长 ，令 ，（），并记 ， 。这样一来，初值问题（.3）（.4） ， ，已知 ，求 ，满足 （.5） （.2） 。相应的矩阵形式为 （.6） 时，（.5）（.6） ， （.7） （.8） （.9） 称为隐式格式。其中最常用的是 完全隐式格式（）： 变分方程 ， （.10） （.11） （.12） ）： 变分方程 （.13） （.14） （.15） 计算出来，而是通过求解方程组来进行计算。 显式格式： （.16） （.17） （.18） 代替质量矩阵 进行计算，这种方法在文献中称作质量集中法。  误差估计 1）半离散化有限元近似 设单元的代数精度为 ，整体光滑度为 ，整个剖分中，单元的最大尺度为 。子空间 。 又设 是变分方程（6.2）的解，并且 ， 而 是其半离散化Galerkin近似，即（6.3）的解。 则 ，有 2）全离散化有限元近似 - 完全隐式格式 设单元的代数精度为 ，整体光滑度为 ，整个剖分中，单元的最大尺度为 。子空间 。 又设 是变分方程（6.2）的解，并且 ， 而 是其全离散化Galerkin近似（完全隐式格式），即（6.10）的解。 则对 ，有  3）全离散化有限元近似 - 平均隐式格式 设单元的代数精度为 ，整体光滑度为 ，整个剖分中，单元的最大尺度为 。子空间 。 是变分方程（6.2）的解，并且 ， 是其全离散化Galerkin近似（平均隐式格式），即（6.13）的解。 则对 ，有