不动点理论在数列中地应用.docVIP

不动点理论在数列中的应用 四川省宜宾市南溪第一中学校 潘昌明 摘要：理解度量空间下的不动点原理，同时研究其在递推数列中的应用，获得数学思维的提升，展望高考压轴题新方向。 关键字：不动点原理；连续函数；递推数列；通项公式；不等式。 Fixed point theory in the sequence of application Abstract: Understand metric space under the fixed point principle, and study its application in recursion sequence, the promotion prospects, mathematical thinking problem new direction launchs entrance. Key words: Fixed point principle;Continuous function; Recursion sequence;The general formula; Inequality. 1预备知识 1.1 定义　设是度量空间，是到的映射，若存在数，使得对所有，成立 　　　　　　　　， （表示实数直线上任何两点之间的距离） 则称是压缩映射。 压缩映射从几何角度来说，就是点和经映射后，它们的像的距离缩短了，不超过的倍。 1.2 定理及其证明 定理1 设是完备的度量空间，是上的压缩映射，那么在内必，使得。 证明：设是中的任意一点，令，， ，….. 以下证明点列是中的柯西点列 事实上， 而 由三点不等式知，当时， 　　　　　 故： 所以当时， 即是中的柯西点列 由的完备性，则使得 则： 当时，上式右端趋于0，故，即 故：，使得. 　从以上的证明可以看出，由于映射下的点列是柯西点列，而柯西点列是收敛的数列，所以不论怎么变化，始终，使得成立。于是就有下面的 ２ 问题的提出 定义：方程的根称为函数的不动点。 设，其中是的一个区间，数列满足，，若是连续的且收敛于，则 这样数列的收敛问题就和函数的不动点紧密联系起来。然而数列可以看作是定义在自然数集合上的特殊函数，则可借助于递推数列的不动点将某些递推关系式所确定的数列化为熟知的等差、等比或降为阶数较低的递推数列。 ３ 递推数列的通项公式 ３.１ 一阶线性递推数列 设一阶线性递推数列由递归方程给出 当时，　　　　　　　　　　　　　　　　（1） 若首项，则（１）等价于以为首项，为公比的等比数列。 当时，　　　　　　　　　　　　　　　（2） 设，则（2）由递推数列，只需把（2）转化为（1）的情形 设得： （为待定系数） ，即 为要使满足（1），故：，则 即是函数的不动点。于是有 定理２　若是函数的不动点，则一阶递推数列（2）等价于　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（3） 由定理２易知（2）所确定的数列的通项公式为 例１：已知数列满足，，，求的通项公式。 解：由得： ， 设，则 而函数的不动点为１，则 故：，则 所以 ３.２ 二阶递推数列 3.2.1 二阶线性递推数列 设二阶线性递推数列由递归方程：　　（４） 给出，为求（４）所确定数列的通项，借助于一阶线性递推数列的结论，为此令，并将其代入（４）： 要把变成（２）的形式，即 只需，故： 若，则为的根，于是有 定理３　若是＝０的根，则二阶线性递推数列等价于一阶递推数列 　　　　　　　　　　　（５） 由上述定理，一般可将阶线性递推数列 降为阶递推数列，再应用定理２就可以确定出通项公式。 特别地，当（４）中的时，（４）所对应的线性递推数列为 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（６） 下面分两种情况讨论（６）的通项公式： ①当有两个不等根时，由定理３可知， 即 则　　　　　　　　　　　　　　　　　（７） 则　　　　　　　　　　　　　　　　　（８） 由（７），（８）两式得： 　　　　　　　　　　　　　　（９） 因此若数列给出了首项并且在确定的情况下，只需设然后根据联立二元一次方程组解出即可。 （２）当有两个相等根时，设 把（９）式改写为 而，则 例２：求Ｆibonacci数列,的通项公式。 解：由于Ｆibonacci数列是二阶线性递推数列， 设，则的两根为 则设 故：，则 所以 例３：已知数列满足，，求的通项公式。 解：设 则的两根为 由定理3可知， 令，则 再设，则的不动点为 . 即 则 故： 而也适合上式，则 3.2.2 二阶非线性递推数列 设二阶非线性递推数列满足，首项为， 且 （１０） 为求（１０）所确定的数列的通项，令 则 故：　　　　　 若令，则有 ，即 故：函数有两个不动点 而，则 则称是函数的“最小不动点”，