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不定积分方法的灵活运用 姬 菲 菲 不定积分方法的灵活运用 摘 要 不定积分是积分学的基础,理解的深浅,掌握的好坏直接影响着我们分析数学问题的能力,比求微分运算要困难得多,那么如何运用基本的积分方法来解题呢?灵活的选择解题方法与技巧是相当重要的,本文就对不定积分的基本方法做了初步的归纳,并通过举例进行了具体的说明,希望能起到抛砖引玉的作用. 关键词：待定系数法；分段函数；符号函数；方程法 ABSTRACT The indefinite integral is the integral calculus foundation, is the key， understood the depth，grasps the quality immediate influence is using mathematics method analysis question ability, differentiates the operation to be more difficult than，how to utilize the basic integral method to come the problem solving, actually has the nimble choice basic problem solving method and the ingenious skill. The present paper has made the preliminary induction to the indefinite integral essential method, and has given the concrete explanation through the sample question, hoped that can play the role which offers a few ordinary introductory remarks so that others may offer their valuable ideas． Key words: undetermined method of correlates ; partition function; sign function 目 录 引 言 1 第1章 直接积分法 2 第2章 换元积分法 3 2.1第一换元积分法(凑微分法) 3 2.2 第二换元积分法 4 2.3 其它代换 5 2.3.1双曲代换 5 2.3.2 “1”的妙用 6 第3章 分部积分法 7 3.1定理(分部积分法) 7 3.2 分部积分法的推广--待定系数法 7 3.2.1,其中不是常数,为的次多项式 7 3.2.2 ,其中,,都是常数,为的次多项式 8 3.2.3 ,其中,,都是常数 9 3.2.4 ,其中,,,都是常数,为的次多项式. 9 第4章 方程法 10 4.1 方程法 10 4.2形如的不定积分的求法 10 第5章 平行微积法 12 参考文献 15 引 言 求解一个数学问题,要用到有关的数学概念、定理、公式,同时还要掌握许多基本方法和技巧,尤其是一些数学分析和高等数学的问题.因此要学好高等数学就必须掌握一定的基本解题方法和技巧. 计算不定积分是高等数学中的一个重点,同时也是计算定积分,重积分,曲线积分,曲面积分及微分方程求解的基础.因此,熟练掌握不定积分的基本计算方法与技巧,对于学好高等数学是十分必要的.在计算过程中，除了熟记基本公式,性质及常用微分关系式的基础上,还应对被积函数的特点进行分类归纳,找出规律,从而选择适当的方法,本文仅是对求不定积分的基本方法做了初步的探讨,希望能够对学习高等数学者有所帮助和提高. 第1章 直接积分法 直接积分法就是利用积分公式和积分的基本性质求不定积分的方法.直接积分法的关键是把被积函数通过代数或三角恒等变形,变为基本不定积分,从而求得. 例1 求不定积分. 解 =. 例2 求不定积分. 解 . 第2章 换元积分法 2.1第一换元积分法(凑微分法) 记 ,第一换元积分法的形式 , 或,运用该积分法的关键是根据被积函数准确地选定中间变量，利用,将化成符合公式的进行积分. 下面就常见的七种类型进行讨论 类型 被积函数的形式 可选中间变量 1 2 3 4 5 （或） （或） 6 （或） （或） 7 例3 求不定积分 . 解 由 可令 , ,则得 . 例4 求不定积分. 解 因为 外函数为幂函数,内函数为. 令 ,则由第一换元积分法可解 原式==. 2.2 第二换元积分法 第二换元积分