Volterra级数理论研究进展与展望.pdf

2015 年 第 60 卷 第 20 期： 1874 ~ 1888 《中国科学》杂志社 自然科学基金项目进展专栏 评 述 SCIENCE CHINA PRESS Volterra 级数理论研究进展与展望 * 彭志科, 程长明 上海交通大学机械与动力工程学院, 机械系统与振动国家重点实验室, 上海 200240 * 联系人, E-mail: z.peng@ 2014-12-01 收稿, 2015-01-14 接受, 2015-06-15 网络版发表 国家杰出青年科学基金和国家自然科学基金资助 摘要 非线性问题因其普遍性受到来自包括工程、物理和数学等众多领域学者的关注. 针 关键词 对非线性系统的建模、求解和分析等问题, 人们发展出了多种数学理论和方法, Volterra级 Volterra 级数 数就是其中之一. 本文对Volterra级数的基本定义和由其发展而来的一些频域概念进行介 广义频率响应函数 绍, 并分析它和Taylor级数、Wiener级数、NARMAX模型、Hammerstein模型、Wiener模型、 非线性输出频率 响应函数 Wiener-Hammerstein模型、谐波平衡法、摄动法和Adomian分解等非线性模型与求解方法之 非线性系统辨识 间的联系; 探讨了其收敛性问题和核辨识问题研究中的挑战, 总结了这方面的研究成果和 收敛性 进展. 众所周知, 实际系统几乎总含有各种非线性因 程、神经科学和生物医学工程等领域得到广泛应 素. 为了分析与求解非线性系统, 人们提出了多种 用. 特别是近10年来, 全球学者在Volterra 级数理 非线性分析方法, Volterra级数就是其中之一. 对 论及其应用方面共发表SCI检索论文近千篇, 引用上 Volterra级数理论的研究最早可追溯到1887年意大利 万次, 显示了该领域的研究活力和其广阔的应用前 数学家Vito Volterra关于解析泛函的工作[1]. 后来控 景. 虽然关于Volterra级数研究的论文数量庞多, 但 制论创始人MIT教授Norbert Wiener在与数学家Paul 相关研究著作却很少[3~5], 也没有一篇综述性论文对 Lévy (Volterra 的学生) 的接触中, 对该理论产生了兴 其相关研究成果和现状进行总结, 这些阻碍了 趣, 1942 年他在给军方的一份密级研究报告中将 Volterra级数的进一步推广. 为使初学者能够更好地 Volterra级数用来分析雷达噪声对非线性接收器电路 掌握Volterra级数这个强有力的非线性问题分析方法 的影响[2]. 此后, Volterra级数理论开始在来自MIT等 和理论, 本文尝试着给该理论一个简洁而全面的介 研究机构的少数学者中间流传, 直到1957年, 它才 绍, 对其相关研究成果进行总结,并对其应用前景给 得以作为一种普通的非线性系统分析方法得到传播 出展望. 和应用. 应用Volterra级数理论, 可以解释很多非线 性系统所特有的现象, 但它非常复杂, 只能应用于 1 基本定义 分析一些相对简单的非线性问题, 这阻碍了其在实 在数学上, Volterra级数本质上是对非线性时不 际中的应用. 正如一位学者所说, Volterra 级数理论 变系统的泛函级数展开, 它也可以看作是