矩阵特征值问题的计算方法特征值问题av=λv直接计算a的阶数较.pdf

矩阵特征值问题的计算方法 特征值问题：AV=λV 直接计算：A 的阶数较小,且特征值分离得较好 特征值 ：det(λI-A)=0, 特征向量： (λI-A)V=0 迭代法：幂法与反幂法 变换法：雅可比方法与 QR 方法 内容： 一、 特征值的估计及其误差问题 二、 幂法与反幂法 三、 雅可比方法 四、 QR 方法 一、 特征值的估计及其误差问题 （一）特征值的估计 结论 1.1：n阶矩阵A (aij )n×n 的任何一个特 征值必属于复平面上的n个圆盘： ⎧⎪ n ⎫⎪ D z | z a | | a | ,i 1, 2, n ⎨ =− ≤ ∑ ⎬ i ii ij （10.1） j j i ⎪⎩ 1, =≠ ⎪⎭ 的并集。 结论 1.2：若（10.1）中的m个圆盘形成一个 连通区域D ，且D与其余的n-m个圆盘不相连，则 D 中恰有A 的m个特征值。 （二）特征值的误差问题 结论 1.3：对于n阶矩阵A (aij )n×n ，若存在n 阶非奇异矩阵H ，使得 H −1AH =Λ diag (λ, , λ ) ， （10.2） 1 n 则 min | λ−λ |≤|| H −1 || || H || || ∆A || 1≤≤ i p p p （10.3） i n 其中λ是A +∆A 的一个特征值，而λ(i 1, , n) 是 i A 的特征值，p 1, 2,∞ 。 结论 1.4：若n阶矩阵A是实对称的，则 min | λ−λ |≤|| ∆A || 1≤≤ i p 。 （10.4） i n 注：（10.4）表明，当A是实对称时，由矩阵 的微小误差所引起的特征值摄动也是微小的。但 是对于非对称矩阵而言，特别是对条件数很大的 矩阵，情况未必如此。 二、 幂法与反幂法 （一） 幂法：求实矩阵按模最大的特征值与特 征向量 假设n阶实矩阵A具有n个线性无关的特征 向量V , i 1, n ，则对于任意的X ∈R n ，有 i 0 n X ∑a V 0 i i ， i 1 从而有 n n