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习题证明等式证明考虑在方程组的解向量处的展式则有注意到于是上式可写为设是由最速下降法产生的证明其中证明由展式易知注意到由的正定性可知是正定的因此于是从而试证明当最速下降法在有限步求得极小值时最后一步迭代的下降方向必是的一个特征向量证明假定在步迭代后得到了精确解即从而有记整理可得即是说是的一个特征值是其对应的特征向量证明线性方程组的解存在唯一证明为证明的解存在唯一只需证明其系数矩阵的行列式不为零注意到其中由定理可得为了讨论方便我们引入记号则将代入后得设对称正定的是互相共轭正交的即证明是线性无关的证
习题5
证明等式(5.1.4)．
［证明］考虑在方程组的解向量处的Taylor展式，则有
，
注意到：，于是上式可写为
．
２．设是由最速下降法产生的．证明：
，
其中．
［证明］由Taylor展式易知
．
注意到：
，
由的正定性可知是正定的，因此，于是
，
从而
．
３．试证明当最速下降法在有限步求得极小值时，最后一步迭代的下降方向必是的一个特征向量．
［证明］假定在步迭代后，得到了精确解，即
，
从而有
，
记：，整理可得
，
即是说是Ａ的一个特征值，是其对应的特征向量．
4．证明线性方程组(5.2.1)的解存在唯一．
［证明］为证明(5.2.1)的解存在唯一，只需证明其系数矩阵的行列式
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