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* 第五章 矩阵的对角化问题 一. 方阵的特征值与特征向量 二. 相似矩阵及其性质 三. 矩阵可对角化的条件 四. 实对称矩阵的对角化 一. 方阵的特征值与特征向量 1. 特征值与特征向量的定义 定义1: 注： 设 是 阶方阵， 若数 和 维非零列向量 ，使得 成立，则称 是方阵 的一个特征值， 为方阵 的对应于特征值 的一个特征向量。 是方阵 1.定义 2.求法 3.性质 （2）特征向量 是非零列向量 （4）一个特征向量只能属于一个特征值 （3）方阵 的与特征值 对应的特征向量不唯一 2. 特征值与特征向量的求法 或 已知 所以齐次线性方程组有非零解 或 定义2： 数 是关于 的一个多项式，称为矩阵 的特征多项式。 称为矩阵 的特征方程。 求特征值、特征向量： 求出 即为特征值; 把得到的特征值 代入上 式， 求齐次线性方程组 的非零解 即为所求特征向量。 解： 第一步：写出矩阵A的特征方程，求出特征值. 例1： 求矩阵 的特征值和全部特征向量. 特征值为 第二步：对每个特征值 代入齐次线性方程组 求非零解。 齐次线性方程组为 当 时， 系数矩阵 自由未知量: 令 得基础解系: 常数)是对应于 的全部特征向量。 齐次线性方程组为 当 时， 得基础解系 常数)是对应于 的全部特征向量。 书P130. 例4. 例5 3. 特征值和特征向量的性质 性质1： 若 的特征值是 ， 是 的对应于 的特征向量，则 的特征值是 是任意常数) 的特征值是 是正整数) 若 可逆，则 的特征值是 的特征值是 且 仍然是矩阵 分别对应于 的特征向量。 为x的多项式，则 的特征值为 性质2： 矩阵 和 的特征值相同。 定理2：设 阶方阵 的 个特征值为 则 称为矩阵A的迹。（主对角元素之和） 例2 ： 例3：设 解： （1） 设 为矩阵 的特征值，求 的特征值； 若 可逆，求 的特征值。 求： （1） 的特征值和特征向量。 （2）求可逆矩阵 ，使得 为对角阵。 自由未知量: 得基础解系 得 自由未知量: 得基础解系