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命题逻辑布尔代数和选举
完全性 布尔代数 超滤子与选举
命题逻辑, 布尔代数和选举
哲学数学计算机中的逻辑课程(2016 年秋)
王彦晶
北大哲学系
2016 年11 月10 日
王彦晶 北大哲学系: 命题逻辑, 布尔代数和选举
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王彦晶 北大哲学系: 命题逻辑, 布尔代数和选举
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回顾
• 演绎定理: ⊢ 与 的关系
• 可靠性: 公理系统中可证的都是语义上有效的
• 一致性: 公理系统系统不能推出矛盾
• 公理独立性: 公理系统的公理缺一不可
• 紧致性: 语义上公式集的有穷子集都可满足则整个集合可满足
• 完全性: 语义上有效的都能在公理系统系统中证明出来
王彦晶 北大哲学系: 命题逻辑, 布尔代数和选举
完全性
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语形与语义
语义的可满足关系V⊨φ (“两道杠”), ⊨ φ 表示φ 是有效的(放之四海
模型皆真), ⊨ φ 表示语义后承(语义上对任何模型你真我就真).
语形上公理系统S 的可证明关系⊢ φ (“一道杠”), ⊢ φ 表示可在S
S S
里从 的前提推出φ.
王彦晶 北大哲学系: 命题逻辑, 布尔代数和选举
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可靠性与完全性: 语义, 语形下对同一堆公式的不同看法
完全性
语义上有效 重言式 语形上可证明
⊨ φ φ ⊢ φ
可靠性
公理系统中的很多事情就是按规则改写符号串, 不太需要脑子和创
造力, 可以交给机器做, 这时候可以忘掉语义也没关系.
王彦晶 北大哲学系: 命题逻辑, 布尔代数和选举
完全性 布尔代数 超滤子与选举
可靠性与完全性: 更强的版本
完全性
语义后承 从 推出φ 系统可推出
⊨ φ ⊢ φ
可靠性
王彦晶 北大哲学系: 命题逻辑, 布尔代数和选
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