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复旦大学腾飞书院先导课程 数理基础分册 前 言 具体的一门课程往往对应具体的一门知识体系。我们的学习，首先需要理解知识体系的发展脉 络、基本的思想与方法，然后将知识（思想与方法）升华为能力，以具有一定的理论联系实际的能 力，具体的实践过程中也可能更加需要变通或者发展已有的思想与方法。由此，我们学习课程的目 的在于真正地系统且深入地理解与掌握相关知识体系，使得相关思想与方法可真正服务于我们认知 世界。 就数理知识体系，我们推荐如下构建方式或者学习方式。 知识点与知识要素 以“知识点”分解“知识体系”，知识点为具有一定独立性的知识（思想与 方法）的集合。每一知识点再由若干“知识要素”组成，“知识要素”可为特定的数学等式、不等式 或者特定的处理思想与方法，亦称为“数学结构”。 相似结构与数学通识 知识体系之间可能存在“相似结构”，如微积分知识体系中的一元微分学、 高维微分学，一般赋范线性空间上微分学具有高度相似的知识点构成，这三种层面的微分学都主要 包括点列极限、映射极限、映射可微性、无限小增量公式、有限增量公式、逆映射定理与隐映射定 理，并且主要结论的分析思想与方法具有高度的统一性。一元积分学与高维积分学也具有类似的相 似性。基于知识体系的相似结构，学习上可以体会“温故而知新”的认识成效。另一方面，隶属同 一知识体系甚至不同知识体系的知识点可能包含相同的知识要素，可称为“数学通识”。数学通识 表现为同一个数学等式、不等式或者特定的处理思想与方法在认识不同的事物中起着共同的至关重 要的作用。 值得指出，数学通识可为实现“同一知识体系之内的融会贯通”、“不同知识体系之间的触类旁 通”提供一种高成效的途径。知识体系构建中突出“数学通识”，表现为由“结构”驱动“结论”的 知识体系发展方式，这种认识方式不仅有益于深入理解与掌握知识体系的内在思想与方法，而且可 高度归纳知识体系的基本内容，这些都非常有益于将知识升华为能力。 正本清源与格物致知 正本清源，指深入研究知识体系的自身发展“动力”——澄清各知识点之 间的关系，往往可基于共同的思想与方法而发展各个知识点。学习中注重基于已有的知识发展新的 知识，注重由结构驱动结论，尽量以正向思维的方式构建知识体系。格物致知，指注重将所有的数 理知识体系密切联系与认识世界的过程。例如针对微积分中对不定积分的分类，我们就从力学、物 理学等实际研究中寻找各种分类所对应的实际背景。值得指出，我们越来越发现，具体事物的数学 机制往往可以对应于某一类数学结构，如某种形式的积分。由此，同一类积分可能成为“貌似完全 无关”的不同事物的共同数学机制。认知中注重引入这样的背景，不仅可使得将数理学习中貌似枯 燥无味的公式、定理或者推导变得有血有肉、生动形象，而且可以我们加深对事物深层机制的认识。 世界的相似性，也许可以追溯为其对应的数学机制的相似性。 复杂分析过程的要义分解 对于数理方面的课程，学习上常常感到“困难”以至于“跟不上”的 主要原因在于课堂上被一些推导或者结论“卡住”，往往自己还在思考，老师已经涉及后续内容。就 此可考虑“将复杂分析过程分解为若干要义”，“要义”包括：(1) 分析的总体思想与方法，(2) 分析 涉及的基础性结论，(3) 分析涉及的特定概念与技巧。理解时，首先澄清各个要义，然后再进行整体 II 复旦大学腾飞书院先导课程——数理基础分册 知识要素 知识要素 A1- B1- 知识要素 知识要素 知识要素 知识要素 知识点A1 A1- 知识点B1 B1- 知识要素 知识要素 知识