矩阵的特征值与特征向量-苏州大学.pdf

苏州大学数学科学学院大学数学部 第五章矩阵的特征值与 特征向量 一、矩阵的特征值与特征向量及其相关概念 1、定义 设A 是 n 阶方阵，如果数 λ和 n 1、定义 设A 是 n 阶方阵，如果数 λ和 n 维非零列向量 x 使关系式 维非零列向量 x 使关系式 Ax = λx （1） Ax = λx （1） 成立，那么，这样的数 λ称为方阵A 的特征值， 成立，那么，这样的数 λ称为方阵A 的特征值 非零向量x 称为A 的对应于特征值 λ的特征向 非零向量x 称为A 的对应于特征值 λ的特征向 量. 量 （1）式也可写成 (A - λE)x = 0 ， （2） 这是 n 个未知数 n 个方程的齐次线性方程组， 它有非零解的充要条件是系数行列式 | A - λE | = 0 ， a −λ a L a 11 12 1n a a −λ L a 21 22 2n 即 0 . M M M a a L a −λ n1 n 2 nn 2. 特征值的性质 2. 特征值的性质 设 λ , λ , ··· , λ 是 n 阶方阵A = (a ) 的 n 个 设 λ , λ , ··· , λ 是 n 阶方阵A = (a ) 的 n 个 1 2 n ij 1 2 n ij 特征值( k 重特征值算作 k 个特征值) , 则 特征值( k 重特征值算作 k 个特征值) , 则 (1) λ + λ + ··· + λ = a + a + ··· + a ; (1) λ + λ + ··· + λ = a + a + ··· + a ; 1 2 n 11 22 nn 1 2 n 11 22 nn (2) λ λ ··· λ = | A |. (2) λ λ ··· λ = | A |. 1 2 n 1 2 n 定理 设 λ , λ , ··· , λ 是方阵A 的 m 个 定理 设 λ , λ , ··· , λ 是方阵A 的 m 个 1 2 m 1 2