第二次课74特征值与特征向量的讨论.ppt

第四节 特征值与特征向量 （第二次课） §7.4 特征值与特征向量 的讨论。 引入 上节课我们介绍了线性变换的特征值与特征向量的 这节课我们将给出特征多项式的有关性质进行深入 定义及计算方法，并对特征子空间给出了定义。 §7.4 特征值与特征向量 一、特征多项式的有关性质 1. 设　　　　　　　 则A的特征多项式 由多项式根与系数的关系还可得 ② A的全体特征值的积＝ ① A的全体特征值的和＝ 称之为A的迹,记作trA. §7.4 特征值与特征向量 证:设 　则存在可逆矩阵X，使得 2. (定理6) 相似矩阵具有相同的特征多项式. 于是， §7.4 特征值与特征向量 注： ② 有相同特征多项式的矩阵未必相似. 成是矩阵A的特征值与特征向量. 它们的特征多项式都是　　　，但A、B不相似. 多项式；而线性变换　的特征值与特征向量有时也说 因此,矩阵A的特征多项式也说成是线性变换　的特征 ① 由定理6线性变换　的特征值与基的选择无关. 如 §7.4 特征值与特征向量 设 为A的特征多项式, 则 证: 设 　　是　　　 的伴随矩阵，则 二、 哈密尔顿─凯莱（Hamilton─Caylay）定理 都是λ的多项式，且其次数不超过n－1. 又　　的元素是　　　　的各个代数余子式，它们 因此，　　可写成 零矩阵 §7.4 特征值与特征向量 其中，　　　　　　都是 　　的数字矩阵. 再设 则，　 ① 而 ② 比较①、②两式，得 §7.4 特征值与特征向量 ③ 以　　　　　　　依次右乘③的第一式、第二式、 …、第n式、第n＋1式，得 ④ §7.4 特征值与特征向量 把④的n＋1个式子加起来，即得 故 设　为有限维线性空间V的线性变换，　　是　 的特征多项式，则 零变换 §7.4 特征值与特征向量 例1. 设　　　　　　　求　 解：A的特征多项式 用　　去除　　　　　　　　　　　　　　得 §7.4 特征值与特征向量 三、练习 §7.4 特征值与特征向量 练习1：已知　　　　　　为A的一个特征值，则　 （1）　　　　　 必有一个特征值为　　　　　; （2）A可逆时，　必有一个特征值为　　　　　; （3） 　 　 则　　 必有一个特征值为　　　. §7.4 特征值与特征向量 行列式　 ＝　　　. 练习2：已知3阶方阵A的特征值为：1、－1、2，　 则矩阵　　　　　　的特征值为：　　　　　　， §7.3 线性变换的矩阵 四、小结 五、作业 P320，19,7） 补充：已知　　　　　　为A的一个特征值，则　 （1）A可逆时，　必有一个特征值为　　　　　. （2）　　 　　　 必有一个特征值为　　　　　;