首先向量组46线性无关.ppt

第一讲 向量组的线性相关性 第二讲 向量组的秩 向量空间 向量组的秩 向量空间 第三讲 线性方程组解的结构 第四讲 习题课 例4.13 设 是两个已知的 维向量,则集合 是向量空间. 很显然, 是由 和 所有可能的线 性组合构成的,我们把它称为由 和 所生成的向 量空间. 一般地,由向量组 所生成的 向量空间为 可证由 维单位向量 生成的向量空间就是 定义4.7 设 是向量空间, 且满足 ⑴ 线性无关; ⑵任取 ,总有 线性相关 那么向量组 称为向量空间 的一 组基, 称为向量空间的维数,并称 为 维的向量空间. 注:向量空间的维数与向量的维数是两个不同的概 念,前者指基中向量的个数,后者指向量中分量 的个数. 若 是向量空间 的一组基,则对任何 均可由这组基线性表示.且表示式唯一. 设 表示式为 ,则 这组 有序数称为 在这组基下的坐标. 若 也 是 的一组基,则 与 等价, 从而存在 阶可逆矩阵 ,使 此式称为基变化公式.矩阵 称为由基 到基 的过渡矩阵. 例4.15 已知 的两组基: 求由基 到基 的过渡矩阵. 解:因为 ,所以 我们这节课学习的主要内容有向 量组的秩，向量空间。 要求大家掌握向量组的秩的求 法，了解向量空间。 四. 线性方程组解的结构 齐次线性方程组的解空间和基础解系 非齐次线性方程组解的结构及通解 齐次线性方程组的解空间和基础解系 设有 元齐次线性方程组 (4.2) 记 则(4.2)可写成 (4.3) 如果 是 (4.3)的解,则 称为(4.2)的解向量且具有下列性质: ⑴若 是(4.3)的解,则 也是(4.3) 的解; ⑵若 是(4.3)的解;则 也是(4.3) 的解. 其中 为任意实数. 全体解向量集合 构成了一个向量空间,称 为解空间.如果能找到解空间的一组基,则解 空间即全部解就可以得到. 定理4.6 在(4.3)中设 则 (4.2)的解空间有基,且基中含有 个 解向量. 证:无妨设 左上角的 阶子方阵非奇异, 则方程组(4.2)可以改写成 (4.4) 把 的任意一组值代入(4.4),根 据克莱姆法则就唯一确定了(4.4)的一个解 把它同取定的 合在 一起就唯一确定了(4.2)的一个解向量.换言 之,对于方程组(4.2)的任意两个解向量,只要 它们的后 个分量相同,则前 个分量也 相同,从而两个解向量就完全一样. 在(4.4)中分别取 这样 组值,就得到(4.2)的 个 解向量 (4.6) 现在来证明(4.6)就是(4.2)解空间的一 组基(称为基础解系) 首先,向量组(4.6)线性无关; 其次,证任一解向量可由(4.6)线性表示.设 是(4.2)的任一解向量.由于 是(4.2)的解向量,所以它们的线性组合 也是(4.2)的解向量,而它的后 个分量 同 的后 个分量相同,则 在求得基础解系 后,形如 的解称为(4.2)的