北理自控 刘世岳Chapter3.pdf

Lyapunov Stability Email: xyyh@bit.edu.cn Beijing Institute of Technology March 30, 2011 Automatic Control Theory (C) Lyapunov Stability March 30, 2011 1 / 141 Contents Automatic Control Theory (C) Lyapunov Stability March 30, 2011 2 / 141 李亚普诺夫稳定性 I 1 运动稳定性和平衡状态 考虑 自治系统 ˙ x =f (x , t) (1) 其 中 x = [x 1(t), x2 (t), · · · , xn (t)]τ f (x , t) = [f 1(x , t), f 2 (x , t), · · · , f n (x , t)]τ Automatic Control Theory (C) Lyapunov Stability March 30, 2011 3 / 141 李亚普诺夫稳定性 II f (x , t) 是x , x , · · · , x 和 t 的有界的连续可微的 i 1 2 n 单值函数。方程(1)的解可表示为 x (t) = φ(t; x , t ), x = φ(t ; x , t ) (2) 0 0 0 0 0 0 此解可看成系统在 n 维状态空间由初始点x0 出 发所画的一条轨迹，称之为系统的运动。 Automatic Control Theory (C) Lyapunov Stability March 30, 2011 4 / 141 李亚普诺夫稳定性 III ˙ 如果存在对所有时间t 都满足x = 0 的状态xe ， 则把xe 称作系统的平衡状态，显然有 f (x , t) = 0 (3) e 对于非线性系统可能有不止一个平衡状态，它 们都是 (3) 的解 。对于线性定常系统，系统可 ˙ 由x = Axe 描述，平衡方程为 Axe = 0 Automatic Control Theory (C) Lyapunov Stability March 30, 2011 5 / 141 李亚普诺夫稳定性 IV 若系数矩阵非奇异，则系统存在唯一平衡 点xe = 0 ，否则，则有无限多个平衡点。 2 李亚普诺夫稳定性定义 XJéuz‡¢êε §ÑéA3,˜‡¢ ê δ (ε, t ) 0§¦ d÷vت 0 x0 − xe ≤ δ (ε, t0 ) Automatic Control Theory (C) Lyapunov Stability March 30, 2011 6 / 141 李亚普诺夫稳定性 V ?¿Ðx0