北航 线性系统第23讲.pdf

第七章第三讲 线性系统的稳定性线性系统的稳定性 （（续续）） 例：考虑系统 1 0 0 ⎡⎡ ⎤⎤ ⎡⎡ ⎤⎤ x x =+ u ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ 1 −1 1 ⎣⎣ ⎦⎦ ⎣⎣ ⎦⎦ y 1 1 x [ ] 讨论其BIBS 、BIBO及BIBS 、BIBO全稳定。 解解：系统是不可控但可观测的系统是不可控但可观测的，可控模态是可控模态是−11。 根据定理7-6，系统BIBS稳定，但非BIBS全稳定。 又系统可控、可观的模态是−1，故系统BIBO 稳定稳定。但不可控但不可控、可观的模态是可观的模态是1，故系统故系统也非非 BIBO全稳定。 三、总体稳定( T 稳定) 定义 若对任意的x (0) 及在任意有界输入u(t) 作用 下下, 均有均有x((tt)) 、y((tt))有界有界, 则称系统则称系统(A(A-1)1) 总体稳定总体稳定。 总体稳定包含了总体稳定包含了BIBOBIBO全稳定和全稳定和BIBSBIBS全稳定全稳定；；而而 BIBS全稳定蕴涵BIBO 全稳定，于是我们有 总体稳定的充分必要条件是总体稳定的充分必要条件是BIBS 全稳定全稳定。 四、稳定性之间的关系 命题命题((6-1))： （（定定理7-8））若若 （（Ａ，Ｃ））可观可观，则有则有 BIBO 稳定⇔BIBS 稳定 证明： “⇐ ”显然。下面证“⇒”： 假定系统已具可控性分解形式： ⎧⎧ ⎡⎡AA AA ⎤⎤ BB 1 2 ⎡⎡ ⎤⎤ 1 A , B ⎪ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ −1 0 A 0 C ( I A ) B [ ] ⎨ ⎣ 4 ⎦ ⎣ ⎦⇒y 1 s =− 1 1 u ⎪⎪ C [C1 C2 ] G (s ) ⎩ 则则((AA,CC))可观意味子系统可观意味子系统((AA , BB , CC ))是可控可观测的是可控可观测的。 1 1 1 BIBO ⇔A 的所有特征值均具负实部。另外，(A , B ) 1 1 1 可控可控、AA 的所有特征值均具负实部的所有特征值均具负实部⇔⇔BIBSBIBS 稳定稳定。 1 证完。 命题(6-2)： （定理7-9）若（Ａ, B ）可控，则有 BIBS 稳定⇔Reλ(A)0, ∀λ i i 证明明：只需要只需要证BIBS 稳定稳定⇒Re λ ((A))0 即可即可。 ii 事实上事实上，系