北航 线性系统第11讲.pdf

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北航 线性系统第11讲

第十第十一讲讲 LTI系统的状态空间实现 单变量系统的实现 一、可控性、可观测性与零极点对消问题 考虑单变量系统,其动态方程为 x Ax +bu , y cx (3 =−22) (3-22)式对应的传递函数为: −1 c ⋅adj(sI −A)b N(s) I A gg((s)) c((s − )) b ((3 −23)) ddet((sII −AA)) DD((s)) 其中,N ((s )) c =⋅adjj ((sI −A))b D(s) det(sI =−A) 2 定理定理33-66 动态方程动态方程(3(3-22)22)可控可控、、可观测的可观测的充分必要充分必要 条件是g(s) 无零、极点对消,即 D(s)和N(s)无非常 数的公因式数的公因式。。 证明证明::首先用反证法证明条件的必要性首先用反证法证明条件的必要性。。若有若有ss=ss00 既使N(s )=0,又使D(s )=0: 0 0 DD ((ss )) det(det(ss II −AA )) 00 , 0 0 N ((s )) c ⋅adjj ((s I −A))b 0 00 00 利用恒等式 −1 adj(sI −A) (sI −A)(sI −A) (sI =−A) I ddet(t(sII −AA)) 3 ⇒D(s)I (sI =−A)adj(sI −A) 将s= s 代入,可得 0 A adj(s I −A ) s adj(s I =−A ) (1) 0 0 0 将上式左乘将上式左乘cc、、右乘右乘bb 后即有后即有 adj s s adj s s N s c⋅A ( 0I −A)b 0 c⋅ ( 0I −A)b 0 ( 0) 0 (2) N(s ) 0 式式((1))左乘左乘cA、、右乘右乘b,,并考虑到并考虑到((2))的结果后即有的结果后即有 2 cA adj(s I −A )b s c =⋅A adj(s I −A )b 0 0 0 2 s N (s ) 0 0 0 ……..,依次类推可得

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