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第一章 线性空间与内积空间 1.线性空间、维数、基与坐标 (1)线性空间V 中存在加法和数乘运算，且加法和数乘运 算满足8个条件； (2)线性空间V 中线性无关向量的最大个数n 称为 V 的 维数,记为 dim (V ) = n ; V 中任意n 个线性无关向量称为 V 的一组基； (3)如果α ,α , ,α 是线性空间V 中的n 个线性无关向 1 2 n 量,且 V 中任一向量都可由其线性表示,则α ,α , ,α 是 1 2 n V 的一组基且 dim (V ) = n ； ε ,ε , ,ε ε ,ε , ,ε (4)设 是线性空间V 的一组基, 是 1 2 n 1 2 n V 的n 个向量,则存在 n 阶方阵 T,使得 (ε ,ε , ,ε ) (ε ,ε , ,ε ) T , 1 2 n 1 2 n ε ,ε , ,ε 当且仅当 T 可逆时, 1 2 n 也是 V 的一组基； (5)设ε ,ε , ,ε 是线性空间V 的基,则向量 α在这组基 1 2 n 下的坐标 (x , x , , x )T 是如下线性组合的系数向量: 1 2 n α x ε + x ε ++ x ε . 1 1 2 2 n n 2.线性子空间 (1)设V 是线性空间,W 是 V 的非空子集，则 W 是 V 的 子空间的充分必要条件是 ∀k ∈P, ∀α, β ∈W ⇒kα, α+β ∈W ; (2)设α , α , , α 是线性空间V 的一组向量， 1 2 s W L(α , α , α ) {k α +k α ++k α | k ∈P}, 1 2 s 1 1 2 2 s s i 则 W 是 V 的子空间； (3)设α , α , , α 与β , β , , β 是线性空间V 的两组向 1 2 s 1 2 t 量,则 L (α , α , , α ) L (β , β , , β ) 的充分必要条件是 1 2 s 1 2 t α , α , , α 与β , β , , β 等价； 1 2 s 1 2 t （4）dim(L(α , α , , α )) rank(α , α , , α ); 1 2 s 1 2 s (5)设V , V 是线性空间 V 的两个子空间，则 V ∩V 和 1 2 1 2 V + V 也是 V 的子空间； 1 2 (6)如果V 和 V 是线性空间 V 的有限维子空间,则 1 2 dim(