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多小波理论分析
多小波理论简介
多小波是小波理论的新发展。与以前的标量小波(scalar wavelet)相比,它是多个尺度函
数或者说是向量尺度函数生成的小波,它可以同时具有正交性、对称性、短支撑性和高阶消
失矩等性质,这在标量小波中是不可能同时具有的。
1994 年,Goodman 等人基于r 重多分辨分析(MRA) 建立了多小波的理论框架,并给出
了多小波的例子;同年, Geronimo ,Hardin 和Massopust 应用分形插值的方法成功地构造
T
出具有短支撑、正交的、对称的和二阶消失矩的两个尺度函数φ(x ) φ ,φ ;1996 年,
[ ]
1 2
T
Geronimo ,Hardin 和Massopust 再次应用分形插值的方法,构造ψ(x ) ψ ,ψ ,并被后
[ 1 2 ]
来者称为GHM小波。由于GHM小波的成功构造,立即吸引了许多从事小波分析的研究者,促使
了多小波理论在近几年的迅猛发展。
一、 多小波的定义及原理
正如标量小波中的情况一样,多小波的研究也是从多尺度函数开始的。具体地,多小
波也是由多分辨率分析着手。
1.多尺度函数:
T 2 r
令φ [φ φ …φ ] ,其中,φ ∈L (R ) ,r ∈N ,则可定义空间V , j ∈Z 如下:
1 2 r j
j / 2 j
V span{2 φ (2 i=−k ) : 1≤i ≤ r, k ∈Z}, (1)
j i
(注意这里的定义与胡老师书上的定义略有差别,即
j 的符号为正的,与书上正好相
反),一个多分辨率分析是指由(1)式定义的 2
L (R ) 中具有下列性质的子空间序列{V } :
j j ∈Z
1)…⊂V ⊂V ⊂V ⊂…;
−1 0 1
2 ) 2 ;
∪ V L ( R)
j ∈z j
3 )∩ V {0};
j ∈z j
4 )f (i) ∈V ⇔ f (2i) ∈V , j ∈Z ;
j
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