应用PDE讲义12_位势方程差分解法.pdf

        应用偏微分方程与科学计算  讲义（十二）  Lecture Notes on   Applied Partial Differential Equations   and Scientific Computing    No. 12    马 石 庄            2010．10．28．北京    1      第12 讲 位势方程的差分解    教学目的：以求解最简单的一维位势方程两点边值问题为出发点，学 习差分近似解法，研究连续算子与离散算子之间的联系，建立数值解 法的相容性、收敛性和稳定性的概念。  主要内容：  §1 数值计算误差  3  1.1 数值计算误差  3  1.2  向量和矩阵的范数  8  1.3 解线性代数方程组的误差  10  §2 直接差分  13  2.1 差分格式  13  2.2 解线性代数方程组  17  2.3 积分插值法  21  §3 连续解和离散解  26  3.1 连续算子和离散算子  27  3.2 离散解及其性质  31  3.3 特征值问题  33  习题12  38      2    有限差分法和有限元法是解偏微分方程的两种主要的数值方法。 由于数字电子计算机只能存储有限个数据和作有限次运算，所以任何 一种适用于计算机解题的方法，都必须把连续问题（微分方程的边值 问题、初值问题等）离散化，最终化成有限形式的线性代数方程组。 有限差分方法是与现代数学一起成长的经典近似方法。微分起源于差 商的极限，Euler 等都曾使用差分方法做近似计算。  考虑常微分方程两点边值问题  ， ，   ， 差分近似。其中 ， ，， ， ， ， 0， 0， ， 0 ，