数值分析 第五版 李庆扬 第二章 插值.pdf

学而时习之 不亦说乎 江西理工大学理学院 第二章 插值法 引言: 1. 问题提出: 实际中y f (x)存在,只知离散 数据y f (x ), 或导数值. (i 0.1.2n) i i 希 望: 用简单函数p (x) 插值函数 近似代替f (x) 被插函数, 使f (x ) p (x ) 插值条件 i i x (i 0,1, n) 叫插值结点, i R(x) f (x) p (x)叫截断误差或余项 这样，对于函数 f (x)在区间[a,b]上的各种计算， 就用对插值函数 p (x) 的计算取而代之。 构造插值函数需要关心下列问题： （1）插值函数是否存在； （2）插值函数是否惟一； （3）如何表示插值函数； f (x) p (x) （4）如何估计被插函数 与插值函数 的误差。 由于代数多项式具有简单和一些良好的特性， 故常用代数多项式作为插值函数。 2. 插值多项式的存在唯一性 定理2.1: 在n 1个互异xk 处满足插值条件 p (x ) f (x ) (k 0,1,2,,n) n k k 的次数不超过n 的多项式p n (x) 存在且唯一. 证: 设p (x ) a  a x   a x n . n 0 1 n 代入插值条件得: a  a x   a x n f (x ) 0 1 0 n 0 0 a  a x   a x n f (x ) 0 1 1 n 1 1 a  a x   a x n f (x ) 0 1 n n n n 其系数行列式: 1 x  x n 0 0 1 x  x n 1 1  (xi xj )  0     0j in 1 x  x n n n 故由Crammer法则知,当x x 互异时,该方程组解 0 n