在代数多重网格法中新插值公式.pdf

维普资讯 第7卷第4期 计 算 物 理 v。1．7N。4 1990年 12月 CHIN ESE JOURNAL OF COM PUTATIONAL PHYSICS Dec ，l990 在代数多重 网格法中的新插值公式 常 谦 顺 李 正 锋 中国科学院应用数学所，北京 (邮政编码 100080) 摘 要 推导出代数多重网格法的一个新的插值公式：理论分析和数值计算表 明这个 公式很有效 且适用性强 推广了原代数多重网格法的应用范围，能够求解一些很病态的 代数方程组 关键词 代数多重网格 插值公式 线性方程组 一 、 引 。言 ‘ 多重网格法从七 t年代以来已经发展成为一种 比较好的算法 在偏微分方程数值解法中， 特别是在大型的计算物理和计算流体力学问题的求解中已有大量的应用l”。它具有收敛速度 快和计算工作量小的优点。但是基于几何网格的多重网格法 (以后简称为几何多重网格法) 有一定的局限性，当求解的区域复杂时或者从细网格不均匀地给出粗网格时，应用几何 多重 网格法都有困难．有时选择能使误差光滑的松弛过程也是困难的。例如对于带有 间断系数的 扩散方程就是如此。有些问题本身是离散的，没有几何意义， 自然也不能用几何 多重网格 法 从八十年代以来，逐步发展 了代数多重网格法 (Algebraicmultigridmethod) ～ 。 它是利用几何多重网格法的思想建立起来 自动求解线性代数方程组的一种迭代方法。但是两 者有不同的特性，几何多重网格法中必须利用问题的几何结构 ：网格，定义在网格上的算子． 预先确定的获得粗网格的方法等等 而代数多重网格法不利用所求解问题的几何和物理性质， 它仅仅利用方程组的系数矩阵。在代数多重网格法中松弛的过程是固定的，一套虚构的粗细 网格 自动地给出。 J．Ruge和 K．St0ben已经对 M 一 矩阵 (一个 对称矩阵被称为是M 一 矩阵 ，如果它是 正定的和非对角元素是非正的)发展了一种有效的算法 (见[2】和 【3])。在实际计算 中，这 种算法对许多类型的问题都是有效的 但是也有些问题难于应用代数多重网格法，例如带有 较大的正非对角元素的方程组，严重病态的方程组和某些流体流动中的问题等。 本文的 目的是推广代数多重网格法的应用范围 因为在方法 中仅有插值公式要递推地定 义，我们将推导和比较插值公式。根据理论推导和计算结果，本文给出了一个新的高精度 的 插值公式。 二、基本的代数多重网格法算法 我们首先考虑线性代数方程组 990 5月 2】日收到来稿 维普资讯 计 算 物 理 第 7卷 AU =F (1l 其中A=(d )… ，u=(“，“：，… ，“)，，=( ， ，…， ) 借助于几何术语，我们 产生一串越来越小的线性代数方程组 ： A U =F f2) 式中Am=(n ，u =(“?，“，…，吒 )，，=( ， ，…， )，Ⅲ=1，2，…， ， = I 2… ，并且 A=‘A，U U，F F 这一串方程组(2)形式上具有几何多重 网格法中粗网格方程的作用。一个虚构的网格Qm能够简单地看作是未知数 “(1≤，≤ )的 集合。此外，我们必须定义插值算子 ，：+，，限制算子， 和松弛的方法。只要这些量被给出， 我们就能够利用通常的几何多重网格法的循环过程来求解代数方程组(1)