数值计算第1章.pdf

第一章 数值计算中的误差 §1 引 言 §2 误差的种类及其来源 §3 绝对误差和相对误差 §4 有效数字及其与误差的关系 §5 误差的传播与估计 §6 算法的数值稳定性 1 §1 引 言 数值分析是研究各种数学问题求解的计算方法，即数值计算。 利用计算尺、电子计算机等计算工具来求出数学问题得到数 值解的全过程，称为数值计算。 在电子计算机成为数值计算的主要工具的今天，需要研究适 合计算机使用的数值计算方法。使用计算机解决科学计算问 题时大致经历如下几个过程： 2 实际问题 数学模型 数值计算方法 上机计算求出结果 程序设计 随着科学技术的突飞猛进，无论是工农业生产还是国防尖 端技术，例如机电产品设计、建筑工程项目的设计、气象预报 和新型尖端武器研制、火箭发射等，都有大量复杂数值计算 3 问题急待解决。它们的复杂程度已达到非手工计算所能解决的地 步。数字式电子计算机的出现和飞速发展大大推动了数值计算方 法的进展，许多复杂的数值计算问题现在都可以通过电子计算机 进行数值计算得到妥善解决。 用数值计算的方法来解决工程实际和科学技术中的具体技术问题 时，首先必须具体问题抽象为数学问题，即建立起能描述并等价 代替该实际问题的数学模型，例如各种微分方程、积分方程、代 数方程……等等，然后选择合适的计算方法 ( 算法），编制出 计算机程序，最后上机调试并进行计算，以得到所欲求解的结果 。 4 所谓数值计算方法，是指将所欲求解的数学模型（数学问 题）简化成一系列算术运算和逻辑运算，以便在计算机上求出 问题的数值解，并对算法的收敛性和误差进行分析、计算。这 里所说的 “算法”，不只是单纯得数学公式，而且是指由基本 的运算和运算顺序的规定所组成的整个解题方案和步骤。一般 可以通过框图（流程图）来较直观地描述算法的全貌。 选定适合的算法是整个数值计算中非常重要的一环。例如 ，当计算多项式 p ( x ) a n x n  a n 1 x n 1    a 1  a 0 5 i 的值时，若直接计算 a x ( i 0 ,1,..., n ) ,再逐项相加 i ，共需做 n (n  1) 1 2  ...  (n  1)  n 2 次乘法和n 次加法。n=10时需做55次乘法和10次加法。若用 著名秦九韶（我国宋朝数学家）算法，将多项式P (x)改成 P (x ) (((( an x  an 1)x  an 2 )x  L  a2 )x  a1)x  a0 只要做n次乘