三角形四心欧拉线证明.doc

三角形的四心 　　三角形的四心是指三角形的重心、外心、内心、垂心。等边三角形的四心重合。 一、三角形的重心 　　三角形的重心是三角形三条中线的交点。 三角形的三条中线必交于一点 　　已知：△ABC的两条中线AD、CF相交于点O，连结并延长BO，交AC于点E。 ?? 三角形的三条中线必交于一点 求证：AE=CE 　　证明：延长OE到点G，使OG=OB 　　∵OG=OB,∴点O是BG的中点 又∵点D是BC的中点∴OD是△BGC的一条中位线 ∴AD∥CG 　　∵点O是BG的中点，点F是AB的中点 ∴OF是△BGA的一条中位线　∴CF∥AG 　　∵AD∥CG，CF∥AG,∴四边形AOCG是平行四边形　∴AC、OG互相平分,∴AE=CE 三角形的重心的性质 　　1.重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1。 　　2.重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等。 　　3.重心到三角形3个顶点距离的平方和最小。 　　4.在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均，即其坐标为((X1+X2+X3)/3,(Y1+Y2+Y3)/3)；空间直角坐标系——横坐标：(X1+X2+X3)/3 纵坐标：(Y1+Y2+Y3)/3 竖坐标：（Z1+Z2+Z3）/3 　　5.重心和三角形3个顶点的连线的任意一条连线将三角形面积平分。 　　6.重心是三角形内到三边距离之积最大的点。 二、三角形的外心 　　三角形的外心是三角形三条垂直平分线的交点(或三角形外接圆的圆心) 。 三角形的三条垂直平分线必交于一点 　　 ?? 三角形的三条垂直平分线必交于一点 已知：△ABC中，AB,AC的垂直平分线DO,EO相交于点O 　　求证：O点在BC的垂直平分线上 　　证明：连结AO,BO,CO，∵DO垂直平分AB，∴AO=BO 　　∵EO垂直平分AC，∴AO=CO 　　∴BO=CO 　　即O点在BC的垂直平分线上 三角形的外心的性质 　　1.三角形三条边的垂直平分线的交于一点，该点即为三角形外接圆的圆心. 　　2三角形的外接圆有且只有一个，即对于给定的三角形，其外心是唯一的，但一个圆的内接三角形却有无数个，这些三角形的外心重合。 　　3.锐角三角形的外心在三角形内；钝角三角形的外心在三角形外；直角三角形的外心与斜边的中点重合 　　4.OA=OB=OC=R 　　5.∠BOC=2∠BAC，∠AOB=2∠ACB，∠COA=2∠CBA 5.S△ABC=abc/4R 三、三角形的内心 　　三角形的内心是三角形三条角平分线的交点(或内切圆的圆心)。 三角形的三条角平分线必交于一点 　　己知：在△ABC中，∠A与∠B的角平分线交于点O，连接OC 　　求证：OC平分∠ACB 　　证明：过O点作OD,OE,OF分别垂直于AC,BC,AB,垂足分别为D,E,F 　　∵AO平分∠BAC,∴OD=OE；∵BO平分∠ABC,∴OD=OF ；∴OE=OF 　　∴O在∠ACB角平分线上 ∴CO平分∠ACB 三角形的内心的性质 　　1.三角形的三条角平分线交于一点，该点即为三角形的内心 　　2.三角形的内心到三边的距离相等，都等于内切圆半径r 　　3.r=2S/(a+b+c) 　　4.在Rt△ABC中，∠C=90°，r=(a+b-c)/2． 　　5∠BOC = 90 °+∠A/2 ，∠BOA = 90 °+∠C/2 ，∠AOC = 90 °+∠B/2 　　6S△ABC=abc/4R 四、三角形的垂心 　　三角形的垂心是三角形三边上的高的交点(通常用H表示)。 三角形的三条高必交于一点 　　已知：△ABC中，AD、BE是两条高，AD、BE交于点O，连接CO并延长交AB于点F ?? 三角形的三条高必交于一点 求证：CF⊥AB 　　证明：连接DE ∵∠ADB=∠AEB=90°,且在AB同旁， 　　∴A、B、D、E四点共圆 ∴∠ADE=∠ABE （同弧上的圆周角相等） 　　∵∠EAO=∠DAC ∠AEO=∠ADC =90° 　　∴△AEO∽△ADC ∴AE/AD=AO/AC 即AE/AO=AD/AC 　　∴ΔEAD∽ΔOAC ∴∠ACF=∠ADE=∠ABE 　　又∵∠ABE+∠BAC=90° ∴∠ACF+∠BAC=90° ∴CF⊥AB 三角形的垂心的性质 　　1.锐角三角形的垂心在三角形内；直角三角形的垂心在直角顶点上；钝角三角形的垂心在三角形外 　　2.三角形的垂心是它垂足三角形的内心；或者说，三角形的内心是它旁心三角形的垂心 　　3. 垂心O关于三边的对称点，均在△ABC的外接圆上 　　4.△ABC中，有六组四点共圆，有三组(每组四个)相似的直角三角形，且AO·OD=BO·OE=CO·OF