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数学模型插值与拟合
第九章 插值与拟合
插值:求过已知有限个数据点的近似函数。
拟合:已知有限个数据点,求近似函数,不要求过已知数据点,只要求在某种意义
下它在这些点上的总偏差最小。
插值和拟合都是要根据一组数据构造一个函数作为近似,由于近似的要求不同,二
者的数学方法上是完全不同的。而面对一个实际问题,究竟应该用插值还是拟合,有时
容易确定,有时则并不明显。
§1 插值方法
下面介绍几种基本的、常用的插值:拉格朗日多项式插值、牛顿插值、分段线性插
值、Hermite 插值和三次样条插值。
1.1 拉格朗日多项式插值
1.1.1 插值多项式
用多项式作为研究插值的工具,称为代数插值。其基本问题是:已知函数f (x ) 在
区间[a,b] 上n +1个不同点x ,x ,L,x 处的函数值y f (x ) (i 0,1,L,n) ,求一个
0 1 n i i
至多n 次多项式
ϕ (x ) a +a x +L+a x n (1)
n 0 1 n
使其在给定点处与f (x ) 同值,即满足插值条件
ϕ (x ) f (x ) y (i 0,1,L,n) (2 )
n i i i
ϕ (x ) 称为插值多项式,x (i 0,1,L,n) 称为插值节点,简称节点,[a,b] 称为插值区
n i
间。从几何上看,n 次多项式插值就是过n +1个点(x ,f (x )) (i 0,1,L,n) ,作一条
i i
多项式曲线y ϕ (x ) 近似曲线 y f (x ) 。
n
n 次多项式(1)有n +1个待定系数,由插值条件(2 )恰好给出n +1个方程
⎧ + + 2 + + n
a a x a x L a x y
⎪0 1 0 2 0 n 0 0
2 n
+ + + +
a a x a x L a x y
⎪0 1 1 2 1 n 1 1
⎨ (3 )
⎪LLLLLLLLLLLL
⎪ 2 n
+ + + +
a a x a x L a x y
⎩0 1 n 2 n n n n
记此方程组的系数矩阵为 A ,则
1 x x 2 L x n
0 0 0
1 x x 2 L x n
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