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数学物理方法第七章2013
第二篇 数学物理方程
Mathematical Equations for Physics
想要探索自然界的奥秘就得解微分方程
—— 牛顿
第七章 数学物理方程的定解问题
重点
1、从实际问题中建立数学物理方程的基本方法;
2、系统的边界条件和初始条件的写法;
3、一维波动方程的行波解。
1
数学物理方程,通常指从物理学及其他各门自然科
学、技术科学中所产生的偏微分方程(涉及到多个变量),
有时也包括与此有关的积分方程。
一、数学物理方程泛定方程:物理规律的数学表示
物理规律 数学语言翻译 物理量u 在空间和时间中的变
化规律,即物理量u在各个地点和各个时刻所取的值
之间的联系。
物理规律的直接表现:u在邻近地点和邻近时刻所取
的值之间的关系式——偏微分方程
2
泛定方程反映的是同一类物理现象的共性,和具体
条件无关。
二、边界问题边界条件
体现边界状态的数学方程称为边界条件
三、历史问题初始条件
体现历史状态的数学方程称为初始条件
例:一个物体做竖直上抛,一个物体斜抛。不同的初始条件
→ 不同的运动状态,但都服从牛顿第二定律。
3
定解问题的完整提法:
在给定的边界条件和初始条件下,根据已知的物理规律,在
给定的区域里解出某个物理量u,即求u(x,y ,z,t) 。
定解条件:边界条件和初始条件的总体。它反映了问题的
特殊性,即个性。
泛定方程:不带有边界和初始条件的方程称为泛定方程。
它反映了问题的共性。
具体的问题的求解的一般过程:
1、根据系统的内在规律列出泛定方程——客观规律
2、根据已知系统的边界状况和初始状况列出边界条件和
初始条件——求解所必须用的 4
3 、求解方法 —— 行波法、分离变量法、等
7.1 数学物理方程的导出
导出步骤:
1、确定物理量,从所研究的系统中划出一小部分,分析邻
近部分与它的相互作用。
2、根据物理规律,以算式表达这个作用。
3、化简、整理。
波动方程的导出
5
(一)均匀弦的微小横振动
设:均匀柔软的细弦沿x轴绷紧,在平衡位置附
近产生振幅极小的横振动
u(x,t): 坐标为x 的点在t时刻沿垂线方向的位移
求:细弦上各点的振动规律
弦的横振动 u( x, t )
u
x
6
选取不包括端点的一小段(x, x+dx)
研究对象:
简化假设:(1)弦是柔软的(不抵抗弯曲),张力沿弦的切线方向
(2)振幅极小 张力与水平方向的夹角 和 很
1 2
小,仅考虑 和 的一阶小量,略去二阶
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