数学物理方法第二章2013.pdf

第二章复变函数的积分 在复变函数中，微分法、积分法是研究复变函数 性质的重要方法和解决实际问题的有力工具 2.1复变函数的积分 ——复平面上的线积分 (与实函数积分相似，定义为和的极限) 1 积分定义: 设f (z)=u(x,y )+iv(x,y ) 在逐段光滑的简单曲线l=AB 上有定义， 沿从A 到B 的方向在l上依次取分点： A=z ，z ，z ，…，z ，z =B 0 1 2 n-1 n 其中z =x +iy ，在每个弧段z z 上任取一点ζ ，当 k k k k-1 k k n lim f ( z n，且max zk 0时，若和式的极限  k ) k zk 0 k 1 存在，并且极限值与z 和ζ 的选取方式无关，则称它 k k 为f (z)沿l 从A 到B 的积分。 2 n f (z)dz lim  f ( )(z  z ). l n k k k 1 k 0 或 l f (z )dz lu (x ,y )dx -v (x ,y )dy y zn  B Z  il v( x, y)dx  u( x, y)dy l 积分存在的条件： z  z  z k 1 k （1）积分曲线l是分段光滑的曲线 z  A 0 （2 ）被积函数f (z)是积分曲线上的连 0 x 续函数 v 性质： W 1. 常数因子可以移到积分号外 f (z) u iv k k k 2. 函数的和的积分等于各函数积分之和 3. 反转积分路径，积分反号 0 u